Порядкові середні

До порядкових середніх (статистичних числових харак­теристик положення) відносяться: середня арифметична величина, мода і медіана.

Середня арифметична величина відноситься до числових статистичних характеристик положення.

Відрізняють середню арифметичну величину просту і зважену. Проста середня арифметична величина знаходиться за формулою

де х, (і = 1, n) - індивідуальні значення ознаки (варіанти).

Для згрупування статистичних даних знаходять зважену середню арифметичну величину. Нехай заданий дискретний варіаційний ряд

x _i x₁ x₂ … x_n

f _i f₁ f₂ … f_n

Зважена середня арифметична величина знаходиться за формулою

Робота методом середніх величин припускає три основні етапи: утворення варіаційного ряду; знаходження характеристик варіаційного ряду; практичну реалізацію одержаних характеристик.

Для того, щоб утворити варіаційний ряд, необхідно виконати ранжирування. Ранжирування - операція розташування чисел у порядку зростання або убування.

Ранжирувані числа зручно записувати в два стовпці (рядки) так, щоб зліва (вгорі) знаходилися варіанти - числові значення вимірюваних величин, справа (внизу) - частоти - кількість їх повторень. Сума частот є об'єм сукупності.

Запис початкових даних у такому вигляді є варіаційним рядом.

Основними характеристиками варіаційного ряду є: середня арифметична , дисперсія , середнє квадратичне відхилення , коефіцієнт варіації , мода (Мо), медіана (Ме).

Середню арифметичну величину було розглянуто вище, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації відносяться дор характеристик розподілу варіаційного ряду та будуть розглянуті далі, отже розглянемо поняття моди і медіани.

Медіана (Ме) - варіант, що знаходиться у середині варіаційного ряду. Медіана знаходиться по накопичених частотах як середина об'єму сукупності.

Медіаною (Ме) називають таке значення варіанти, що ділить сукупність за чисельністю на дві рівні частини: із значенням варіант менше та більше медіани.

Розглянемо послідовність ранжирування варіант х₁, х₂,..., х_п , тобто записаних в порядку зростання чи спадання. Припустимо, що п — непарне число. Тоді варіанта, яка знаходиться в середині послідовності (з індексом ) буде медіаною Ме = х_к. Якщо п парне число, то значення медіани розраховується як середнє арифметичне двох варіант, які знаходяться в середині послідовності ранжированих варіант .

Для інтервального варіаційного ряду при обчисленні медіани використовується формула

де - нижня межа інтервалу, в якому знаходиться медіана;

- частота (частка) в медіанному інтервалі;

- довжина медіанного інтервалу;

- комулятивна частота інтервалу, який знаходиться перед модальним інтервалом.

Комулятивною частотою (часткою) і-го інтервалу інтервального ряду розподілу S_j називається сума всіх частот (часток), які передують цьому інтервалу, і самого інтервалу

Останньому інтервалу інтервального ряду розподілу відповідає комулятивна частота (частка), яка дорівнює сумі всіх частот (часток).

Слід зазначити, що коли частки знаходяться у формі коефіцієнтів, то значення останньої комулятивноі частоти дорівнює одиниці, а коли у формі відсотків, то значення останньої комулятивноі частоти дорівнює 100%

Мода (Мо) - варіант, який найчастіше зустрічається у варіаційному ряду. Встановлено, що при малій відмінності між модою, медіаною і середньої арифметичної досліджувана група вельми однорідна.

Мода (Мо) - значення варіанти, що повторюється у ряді розподілу найчастіше. Розглянемо методику обчислення моди для дискретного та інтервального рядів розподілу.

У дискретному ряді, шляхом послідовного порівняння значень частот (часток), знаходимо варіанту, якій відповідає найбільша частота (частка). Обчислена за наведеним алгоритмом в дискретному ряді розподілу варіанта є мода.

В інтервальному ряді розподілу шляхом послідовного порівняння частот (часток), знаходимо модальний інтервал. Інтервал, якому відповідає найбільша частота (частка), називається модальним.

Значення моди в інтервальному ряді прийнято обчислювати за формулою

,

де — нижня межа модального інтервалу; — крок і частота (частка) модального інтервалу; - частота (частка) інтервалу, який знаходиться перед модальним інтервалом; — частота (частка) інтервалу наступного за модальним інтервалом.

Характеристики варіаційного ряду дають уявлення про всю групу в цілому. З цього виходить, що початковий кількісний матеріал може бути оцінений величинами Мо, Ме. Таким чином, замість початкового масиву чисел можна користуватися декількома характеристиками, тобто скорочувати об'єм вимірювань практично без втрат інформації.

Отже, основна практична цінність даного методу полягає в оцінці початкового масиву чисел, часом вельми значного за об'ємом, декількома величинами, що містять в собі оцінювану інформацію