К вопросу: ошибки выборки

Принятые обозначения показателей:

N – объем генеральной совокупности;

n - объем выборочной совокупности;

х - выборочная средняя;

р и w – соответственно доля единиц, являющихся носителем определенного признака в генеральной и выборочной совокупности, т.е. генеральная и выборочная доля.

Пример расчета ошибок репрезентативности показателей выборки

В таблице 11.1 представлено распределение студентов по уровню успеваемости в генеральной и двух 10 %-х выборочных совокупностях. Следует определить, на сколько выборочные характеристики среднего балла успеваемости и доли студентов, получивших при тестировании оценки «4» и «5», отличаются от аналогичных показателей по генеральной совокупности, т.е. ошибки выборки для средней и для доли.

Таблица 11.1 - Распределение студентов по уровню успеваемости

в генеральной и выборочных совокупностях

Оценка	Число студентов, чел.
	Генеральная совокупность	Первая выборка	Вторая выборка
2 3 4 5	100 300 520 80	9 27 54 10	12 29 52 7
Итого	1000	100	100

Ошибки репрезентативности среднего балла успеваемости студентов, исчисленного по данным выборок, и выборочной доли студентов, получивших при тестировании оценки «4» и «5», рассчитаем на основе расхождений между соответствующими выборочными и генеральными показателями.

Средний балл тестирования студентов рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной (4.21).

По генеральной совокупности средний балл равен: ; по первой выборке - ; по второй выборке - .

Доля студентов, получивших оценки «4» и «5», рассчитывается по формуле 4.11.

По генеральной совокупности она равна: или 60 %; по первой выборке – w₁ = 0,64 или 64 %; по второй выборке w₂ = 0,59 или 59 %.

Ошибки репрезентативности для средней:

- по первой выборки: - = 3,65 – 3,58 = + 0,07;

- по второй выборки: - = 3,54 – 3,58 = - 0,04.

Ошибки репрезентативности для доли:

- по первой выборки: w₁ – р = 0,64 – 0,6 = + 0,04;

- по второй выборки: w₂ – р = 0,59 – 0,6 = - 0,01.

Таким образом, по результатам обработки данных первой выборки получили, что средний балл успеваемости студентов на 0,07 выше, чем средний балл, исчисленный по генеральной совокупности, и, соответственно, доля студентов, получивших при тестировании оценки «4» и «5» на 0,04 долей единицы выше, чем этот же показатель в генеральной совокупности. Во второй выборке показатели средней и доли, соответственно, на 0,04 балла и 0,01 долей единицы ниже, чем в генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборки для средней величины ( ) рассчитывается по формуле

, (11.1)

где σ_х – среднее квадратическое отклонение значений признака х от его средней величины.

Средняя ошибка выборки для доли единиц определенного признака ( ) рассчитывается по формуле

. (11.2)

В формулах 11.1 и 11.2 σ_х² и р(1-р) являются характеристиками генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. На практике их заменяют аналогичными характеристиками выборочной совокупности на основании закона больших чисел, по которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Формулы для расчета средних ошибок выборки для средней и для доли при повторном и бесповторном методах отбора, приведены в таблице 11.2.

Таблица 11.2 - Формулы расчета средней ошибки выборки для средней и для доли

Метод отбора	Средние ошибки выборки
	для средней	№ формулы	для доли	№ формулы
Повторный		11.3		11.4
Бесповторный		11.5		11.6

Величина всегда меньше единицы, поэтому величина средней ошибки выборки при бесповторном отборе оказывается меньше, чем при повторном. В тех случаях, когда доля выборки незначительна и множитель близок к единице, поправкой можно пренебречь.