К вопросу: понятие корреляционно-регрессионного анализа

Теоретические значения результативного признака обычно обозначаются (читается: «игрек, выровненный по икс») и рассматриваются как функция от х, т.е. . Иногда для простоты записи вместо пишут или .

Для аналитической связи между х и у используются следующие виды уравнений:

- (прямая);

- (парабола второго порядка);

- (гипербола);

- (показательная или экспоненциальная функция);

- (логарифмическая функция) и др.

К вопросу: парная линейная регрессия

Парная линейная зависимость выражается при парной корреляции уравнением прямой:

, (7.20)

где – выровненное среднее значение результативного признака;

х – значение факторного признака;

а₀ и а₁ – параметры уравнения;

а₀ – значение у при х = 0;

а₁ – коэффициент регрессии.

Параметры уравнения связи определяются способом (методом) наименьших квадратов (МНК) с помощью составленной и решенной системы двух уравнений с двумя неизвестными:

(7.21)

где n – число членов в каждом из двух сравниваемых рядов (число единиц совокупности);

∑x – сумма значений факторного признака;

∑x² – сумма квадратов значений факторного признака;

∑y – сумма значений результативного признака;

∑yx – сумма произведений значений факторного признака на значения результативного признака.

Решив систему уравнений, получаем значения параметров уравнения связи, определяемые по формулам

; (7.22)

. (7.23)

Если параметры уравнения определены правильно, то ∑у = ∑ .

Пример построения уравнения парной линейной регрессии

По данным таблицы 7.13 необходимо построить линейное уравнение связи, характеризующее зависимость выпуска продукции десяти предприятий одной отрасли от стоимости основных производственных фондов.

Таблица 7.13 - Данные, характеризующие 10 предприятий одной отрасли

Номер предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Стоимость ОПФ, млн. грн.	12	8	10	6	9	15	11	13	14	10
Выпуск продукции, млн. грн.	5,6	4,0	4,0	2,4	3,6	5,0	4,6	6,5	7,0	4,5

Для расчета параметров уравнения регрессии и выровненных по х значений у построим вспомогательную таблицу 7.14.

Таблица 7.14 - Данные, используемые для расчета параметров линейного уравнения связи стоимости основных производственных фондов и выпуска продукции 10 предприятий отрасли

№ завода (n)	Стоимость ОПФ (х), млн. грн.	Выпуск продукции (у), млн. грн.	x2	xу	у2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12 8 10 6 9 15 11 13 14 10	5,6 4,0 4,0 2,4 3,6 5,0 4,6 6,5 7,0 4,5	144 64 100 36 81 225 121 169 196 100	67,2 32,0 40,0 14,4 32,4 75,0 50,6 84,5 98,0 45,0	31,36 16,00 16,00 5,76 12,96 25,00 21,16 42,25 49,00 20,25	5,2 3,5 4,4 2,7 4,0 6,5 4,8 5,6 6,1 4,4
Всего	108	47,2	1236	539,1	239,74	47,2
В среднем на 1 завод	10,8	4,72	123,6	53,91	23,974	х

По формуле 7.22 параметр уравнения прямой .

По формуле 7.23 коэффициент регрессии .

По формуле 7.20 линейное уравнение связи между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции имеет вид: .

Коэффициент регрессии а₁ = 0,421 показывает, что при увеличении стоимости основных производственных фондов на 1 млн. грн. выпуск продукции в среднем увеличится на 0,421 млн. грн.

Последовательно подставляя в полученное уравнение значения факторного признака х, находим выровненные значения результативного признака , показывающие, каким теоретически должен быть средний размер выпущенной продукции при данном размере основных производственных фондов (при прочих равных условиях). Выровненные (теоретические) значения выпуска продукции приведены в последней графе таблицы 7.14.

Правильность расчета параметров уравнения подтверждает равенство ∑у = ∑ (47,2 = 47,2).

На рис. 7.3 представлены эмпирические, теоретические и средние уровни выпуска продукции предприятий отрасли, отличающихся по стоимости основных производственных фондов.

Выпуск продукции, млн. грн.

7 -

6 -

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

0 //

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Стоимость ОПФ,

млн. грн.

- эмпирические уровни (у);

- теоретические уровни ( );

- средние уровни ( ).

Рисунок 7.3 - Графическое изображение фактической и теоретической связи стоимости

основных производственных фондов и выпуска продукции 10 предприятий отрасли

Коэффициент эластичности для линейной зависимости (ε) определяется:

- для отдельной единицы совокупности по формуле

; (7.24)

- в целом для совокупности по формуле

. (7.25)