- •Керченский государственный морской технологический университет
- •Содержание
- •Введение
- •Ряды фурье
- •1.Периодические функции и процессы
- •2.Тригонометрический ряд Фурье
- •3.Разложение в ряд Фурье 2-периодических функций
- •4.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •5.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •6. Представление непериодической функции рядом Фурье
- •7.Контрольные вопросы по разделу «Ряды Фурье»
- •8.Задачи для самоконтроля по разделу «Ряды Фурье»
- •Список рекомендуемой литературы
- •98309, Г. Керчь, Орджоникидзе, 82
Министерство аграрной политики и продовольствия Украины
Государственное агентство рыбного хозяйства Украины
Керченский государственный морской технологический университет
Кафедра высшей математики и физики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания для самостоятельного изучения
раздела высшей математики «Ряды Фурье»
для студентов дневной формы обучения
направления 6.070104 «Морской и речной транспорт»
Керчь, 2011
Автор: Драчева И.А., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ
Рецензент: Ивановская А.В., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ
Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики и физики КГМТУ,
протокол № 10 от 10 мая 2011 г.
Методические указания утверждены и рекомендованы к изданию методической комиссией морского факультета КГМТУ
протокол № 5 от 1 июля 2011 г.
© Керченский государственный морской технологический университет, 2011
Содержание
|
Введение |
4 |
|
Ряды Фурье |
4 |
1 |
Периодические функции и процессы |
4 |
2 |
Тригонометрический ряд Фурье |
5 |
3 |
Разложение в ряд Фурье 2π- периодических функций |
7 |
4 |
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций |
12 |
5 |
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода |
13 |
6 |
Представление непериодических функций рядом Фурье |
15 |
7 |
Контрольные вопросы по разделу «Ряды Фурье» |
16 |
8 |
Задачи для самоконтроля по разделу «Ряды Фурье» |
17 |
|
Список рекомендуемой литературы |
18 |
Введение
Данное пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела высшей математики «Ряды Фурье». Методическое пособие может быть использовано при подготовке к модульной контрольной работе, а также к семестровому экзамену.
Данным методическим пособие могут пользоваться студенты дневной и заочной форм обучения.
Ряды фурье
1.Периодические функции и процессы
Очень многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движения шатуна и поршня в двигателях, явления, связанные с распространением электромагнитных колебаний и многие другие.
Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями.
Периодической функцией называется функция , определенная на множестве , и имеющая период , т.е. при каждом выполняется равенство .
Для построения графика периодической функции с периодом достаточно построить его на любом отрезке длиной и периодически продолжить его на всю область определения.
Отметим основные свойства периодической функции.
Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период , есть периодическая функция с периодом .
Если функция имеет период , то функция имеет период ; действительно .
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции . Период этих функций равен .
В инженерных приложениях часто используется величина, обратная периоду – частота или круговая частота .
Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией
где - амплитуда колебания, - круговая частота, - начальная фаза.
Такое колебание называют простой гармоникой, то есть содержащее одну частоту.
Период колебаний простой гармоники равен .
Выражение для простого колебательного процесса может быть преобразовано к виду, содержащему как синусоидальную, так и косинусоидальную составляющие
,
где использованы обозначения .
В результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник возникает сложное гармоническое колебание, также описываемое функциями вида и . Так, функция
состоит из суммы периодических функций, каждая из которых имеет период и задает сложное гармоническое колебание с периодом .
Если какой-либо процесс имеет периодический характер, значит описывающая его периодическая функция аналогична функции, представляющей собой сложное гармоническое колебание, состоящее из суммы простых гармоник.
Возникают следующие вопросы:
1. Всякую ли периодическую функцию можно представить в виде суммы простых гармоник?
2. Возможно ли это, если периодичность процесса не равна ?
3. Если оба вопроса имеют утвердительный ответ, то, как найти неизвестные коэффициенты каждой из этих гармоник?