К вопросу: аналитическое выравнивание рядов динамики

Линейная зависимость выражается уравнением

; (9.4)

параболическая зависимость выражается уравнением

; (9.5)

экспоненциальная зависимость выражается уравнением

, (9.6)

где ŷ – уровни, освобожденные от колебаний;

а – начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t (t = 0);

t – номер периода;

b – среднегодовой абсолютный прирост; константа линейного тренда (параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу);

с – квадратический параметр, равный половине ускорения; константа параболического тренда. Ускорение ( ) как разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период одинаковой длительности рассчитывается по формуле

. (9.7)

k - темп роста в разах; константа экспоненциального тренда.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

(9.8)

где y_i – уровни исходного ряда динамики;

t_i – номера периодов или моментов времени;

n – число уровней ряда.

Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t_i в середину ряда. Тогда ∑t_i будет равна 0 и система приобретет вид:

(9.9)

откуда

, (9.10)

. (9.11)

Отметим, что значение при четном числе n можно определить по формуле

. (9.12)

Для того, чтобы выйти на значение , полученное по формуле, при четном числе n шаг между t_i и t_i-1 или t_i+1 принимается равным 2 года.

Для тренда, выраженного квадратической параболой, нормальные уравнения МНК имеют вид:

(9.13)

После переноса начала отсчета t_i в середину ряда получим:

(9.14)

Для экспоненциального тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

(9.15)

После переноса начала отсчета t_i в середину ряда получим:

(9.16)

откуда

, (9.17)

. (9.18)

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством F-критерия Фишера, рассчитываемого по формуле 7.34. Если F_факт > F_теор, то уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.