Середнє значення вихідного сигналу

Виразимо реалізацію х(ї) вхідного сигналу Х(і) за допомогою інтеграла Фур'є

. (1)

Вихідний сигнал можна знайти, якщо відомим буде коефіцієнт передачі :

. (2)

Переходячи від окремої реалізації до ансамблю вхідних сигналів, слід врахувати, що, як відомо, у випадку стаціонарного процесу середнє значення спектральної густини дорівнює нулеві .

Тому, виконуючи усереднення в обох частинах рівності (8.2), матимемо:

. (3)

Кореляційна функція та спектральна густина потужності випадкового сигналу на виході системи

Функцію кореляції вихідного сигналу будемо шукати за формулою

. (4)

Тут реалізація визначається аналогічно реалізації :

. (5)

Формула (8.5) не зміниться, якщо в її правої частини перейти до комплексно-спряжених величин:

. (6)

Тоді

. (7)

Врахуємо, що вхідний сигнал стаціонарний, тому, як відомо, випадкові спектральні густини його окремих реалізацій дельтакорельовані, тобто

, (8)

де - спектр потужності стаціонарного випадкового процесу . З цієї причини правий бік формули (8.7) набуває вигляду:

. (9)

Отже, вихідний сигнал зв'язаний з вхідним сигналом співвідношенням

. (10)

Для однобічних спектрів та очевидно, що

. (11)

Тому дисперсія вихідного сигналу

. (12)

61. Тепловий шум резистора, формула Найквіста.

Теплові шуми — це шуми, створені тепловими флуктуаціями електронів, що виникають у колах, які мають омічний опір при температурі Т, що відрізняється від абсолютного нуля. Швидкість хаотичного теплового руху електронів значно перевищує швидкість спрямованого їх руху, який виникає у провіднику в разі прикладання зовнішньої ЕРС; тому інтенсивність теплових шумів практично не залежить від величини струму, що проходить через провідник. ЕРС шумів можна розглядати як суму імпульсів, які хаотично надходять один за одним з надзвичайно малою тривалістю - приблизно . Через це теплові шуми є випадковим процесом - білим шумом, енергетичний спектр якого не залежить від частоти.

8.3.1.1. Формула Найквсіта

Д ля аналізу шумового кола його зображають генератором шумової ЕРС (рис. 8.1), ввімкненої послідовно з ідеальним не шумовим опором . Паралельно до цієї вітки вмикається конденсатор , який відіграє допоміжну роль. З умови динамічної рівноваги можна записати, що

, (8.15)

де - середнє значення енергії електричного кола, яке визначається з умови теплової рівноваги системи; - середнє значення енергії електричного поля конденсатора.

Визначимо тепер коефіцієнт передачі потужності схеми на (рис. 8.1):

. (8.16)

Відомо, що кореляційна функція випадкового сигналу на виході системи дорівнює

. (8.17)

У цій формулі вважатимемо, що і знайдемо дисперсію . Тут же врахуємо, що, білий шум - це випадковий процес зі сталим на всіх частотах спектром потужності . Тоді

. (8.18)

З іншого боку,

. (8.19)

Якщо прирівняти праві боки формул (8.18) та (8.19) та усунути допоміжну величину , то дістанемо

. (8.20)

У практиці частіше користуються однобічним енергетичним спектром, який визначається в області додатних частот:

. (8.21)

Р івняння (8.21) має назву формули Найквіста. Тут - стала Больцмана; Т - температура за Кельвіном; - активний опір кола. Нехай ;

.

Незважаючи на позірну малість, ефект теплових імпульсів може стати вирішальним фактором, який обмежує реальну чутливість приймальних пристроїв.

Єдиний радикальний засіб боротьби з тепловими шумами - глибоке охолодження вхідних кіл чутливих радіоприймальних пристроїв, які використовуються у радіолокації, радіоастрономії та системах космічного зв'язку. Найкращих результатів досягають при охолодженні вхідних кіл приймачів до температури рідкого гелію ( ).