- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
3. Зонные состояния периодических систем
3.1. Линейная моноатомная цепочка
В общем случае потенциальная энергия моноатомной цепочки (см. рис.10) зависит от смещений un каждого атома и при малых колебаниях около положения равновесия может быть представлена следующим рядом:
.
Упрощая задачу, рассматривают гармоническое приближение и взаимодействие только ближайших соседей. Поэтому сила fn, действующая на атом n равна:
.
Если принять во внимание взаимодействие только с ближайшими атомами, это выражение ещё более упрощается. Для цепочки, показанной на рис. 10, сила, действующая на атом с номером n, складывается из силы, действующей со стороны предыдущего атома с номером n–1 и со стороны последующего атома n+1. Если упругая постоянная между атомами определяется величиной , то в этом приближении можно написать:
.
Система уравнений, описывающая движение N частиц цепочки, состоит из N дифференциальных уравнений вида
Постановка решения в виде функции Блоха
сводит систему дифференциальных уравнений к одному (!) алгебраическому уравнению, характеризующему связь между частотой и волновым числом k=(2/) для возможных собственных возбуждений системы:
.
Рис. 10. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная зависимость (k) для линейной моноатомной цепочки. Тангенс угла наклона дисперсионной зависимости равен скорости звука в цепочке, поскольку при k 0 4 /mka/2 и Vзв= /k=a /m, что полностью совпадает со значением скорости звука при феноменологическом описании механических колебаний в непрерывной среде: Vзв= С11 /, где С11={ (un–un–1)}/{(un–un–1)/a}, а =m/a, так что Vзв=a /m; в) физический смысл волнового вектора k. Если найти ближайший к атому n атом n+m, имеющий то же смещение, что и атом n, т.е. потребовать выполнения un=un+m, то ясен физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2 λ, где λ=am – длина волны возбуждения.
Дисперсионная зависимость (k) периодична, таким образом, достаточно рассмотреть область периодичности волнового вектора k, которая выбирается симметричной от –(/a)<k<+(/a) и носит название первой зоны Бриллюэна. Колебания, отличающиеся по волновому вектору k на целочисленную величину (2/a), физически характеризуют одно и то же движение частиц. Легко видеть, что ближайшая частица, имеющая такое же отклонение un+m, как и заданная un для колебания с волновым вектором k расположена на расстоянии ma=:
.
Волны с частотами >max будут распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1, т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k+i :
Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно, cos(ka/2)=0 и k=/2, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом волны (рис. 11 а):
.
Вид колебаний для различных волновых векторов показан на рис. 11. Для малых волновых векторов k0 () движение частиц происходит в фазе с частотами, пропорциональными величине k (ka<<1):
,
где V=a(/m)1/2– скорость звуковых волн в линейной цепочке, состоящей из масс m. Действительно, Vзвука=(C11/)1/2, где C11 – упругая постоянная, определяемая как
,
.
Таким образом, при малых волновых векторах k частота =kVзвука. Фазовая скорость Vф=/k и групповая скорость Vгр=d/dk в этом случае равны друг другу. Для коротких волн на границе зоны Бриллюэна k=/a; =2a соседние частицы колеблются в противофазе и образуют стоячую волну с частотой =max=(4/M)1/2. Перенос энергии при этом отсутствует, а групповая скорость равна нулю:
.
Рис. 11. Колебания моноатомной цепочки: а) мода колебания с волновым вектором k0; б) мода колебания на границе зоны Бриллюэна с k= /a; в) вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами 22max=4/msin2ka/2. Если частота внешнего воздействия max , это означает, что волновой вектор k является комплексным числом =k+i, так что sin(a/2)=sin[(k+i)a/2]=sin(ka/2)ch(a/2)+icos(ka/2)sh(a/2); поскольку sin(a/2), определяет физическую частоту и должен быть действительным числом, мнимая часть этого выражения равна нулю, что может иметь место только когда значение ka/2=/2. Таким образом, соседние частицы колеблются в противофазе. Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид: Un=Aexp[i(t+an/a)]exp(–an). Это показано на рисунке. г) моды колебаний цепочки с конечным числом атомов N, расположенные по порядку увеличения частоты колебаний.
При рассмотрении цепочки конечных размеров (N частиц) необходимо использовать граничные условия. Среди них можно рассматривать условия закрепленных или свободных концов, или циклические граничные условия (условия Борна-Кармана), когда цепочка представляется замкнутой:
Таким образом, в цепочке из N атомов волновой вектор k может принимать N разных значений, которым соответствуют различные решения un(, k) и различный тип движения частиц (моды колебаний). Поскольку число частиц N в реальных объектах чрезвычайно велико, можно считать, что волновой вектор k и соответствующие значения частот от 0 до max квазинепрерывны.
Важным вопросом является вопрос о числе dZ различных частот (колебаний, мод), приходящихся на единичный интервал частот d. Эта величина g() носит название функции плотности частот (функции плотности состояний).
Поэтому плотность частот для одноатомной одномерной цепочки выглядит следующим образом:
.
Для линейной цепочки при учете взаимодействия только ближайших соседей функция плотности частот g() имеет особенность при max.