6.2. Фононы

Квантовые возбуждения нормальных координат или осцилляторов называются фононами. Связь между нормальной модой механического колебания и фононом такая же, как между электромагнитной волной и фотоном. Это, естественно, не может служить основой для квантования механической волны по аналогии с электромагнитной. Однако механические возбуждения в определенных условиях ведут себя как квазичастицы с энергией ћ и импульсом ћk и во многих разделах физики твердого тела можно найти аргументы в пользу концепции фонона.

Переход к квантовомеханическому описанию производится обычным путем перехода к оператору импульса P_j и сопряженной ему координаты Q_j:

.

Тогда уравнение Шредингера Ĥ=E с гамильтонианом

распадается на 3sN отдельных независимых уравнений для каждой из координат Q_j(k). Волновая функция (Qj), описывающая возбуждение кристалла, равна произведению волновых функций каждого независимого осциллятора

где V_k,j – колебательное квантовое число осциллятора с координатой Q_j(k), а _Vkj – волновая функция этого осциллятора с энергией

.

Уровни энергии гармонического квантового осциллятора и собственные функции для этих квантовых состояний показаны на рис.XX. Полная энергия кристалла равна сумме энергий независимых осцилляторов

.

Минимальное значение энергии квантового кристалла 1/2 ћ_j(k) носит название энергии нулевых колебаний. До тех пор, пока тепловая энергия кристалла невелика, и колебания атомов остаются гармоническими, энергию можно представить в виде квадратичной формы (нормальных координат). Это означает, что энергия механического возбуждения кристалла может быть представлена в виде суммы энергий невзаимодействующих частиц. Поэтому в гармоническом приближении фононы ведут себя подобно идеальному газу – они могут сталкиваться упруго без передачи энергии (но при выполнении закона сохранения квазиимпульса). Состояние кристалла можно задать, используя числа, указывающие, сколько фононов каждого сорта, существует при данной температуре. Эти числа носят название чисел заполнения. Набор чисел заполнения |n> указывает, сколько фононов соответствует каждой из возможных мод с импульсом k из ветви j:

|n>=|n(k₁,j₁),n(k₂,j₂)....n(k_N,j_3s)>.

Основное состояние кристалла с энергией 1/2 ћ_j(k). Когда в нем нет фононов, основное состояние кристалла характеризуется набором чисел заполнения |0>=|0,0,0...0>. Состояние кристалла, в котором возбужден лишь один фонон из ветви j с импульсом k, можно записать так |0,0,.....1(k,j)...0,0>.

6.3. Гармонический осциллятор

В гармоническом приближении колебательные движения атомов кристалла удобно рассматривать, вводя нормальные координаты, как колебания 3Ns независимых осцилляторов. При квантовомеханическом рассмотрении энергии этих осцилляторов квантуются, а квант энергии осциллятора носит названия фонона. Таким образом, задача анализа колебательных возбуждений кристалла сводится к рассмотрению механики одномерного осциллятора. Гамильтониан одномерного гармонического осциллятора имеет вид: