6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
В рамках модели гармонического кристалла нельзя объяснить некоторые экспериментальные факты, такие как тепловое расширение кристалла, конечное значение коэффициента теплопроводности, зависимость упругих постоянных кристалла от давления и температуры. Серьезным доказательством наличия ангармонических эффектов являются также эксперименты, указывающие на наличие взаимодействия между фононами, в результате чего появляется новый фонон.
Процесс рождения и уничтожения фононов удобно представить с помощью квантовомеханических операторов рождения и уничтожения, действующих на функцию состояния системы. Гамильтониан одиночного гармонического осциллятора, записанный через сопряженные координату x и импульс p, имеет следующий вид:
.
Сопряженные операторы координаты x и импульса p подчиняются соотношению коммутации (скобки Пуассона) такого типа [x,p]= –iћ.
Можно выбрать новые операторы рождения a+ и уничтожения а возбуждения, введенные как линейные комбинации операторов координаты и импульса с помощью простого преобразования:
.
Коммутационные соотношения для этих операторов проще и имеют вид [a,a+]=1. Выражая теперь H через эти операторы, получаем
.
Таким образом, гамильтониан имеет вид
.
Квантовые свойства системы определены этим гамильтонианом и операторами рождения а+ и уничтожения a возбуждения. Поскольку произведение вида а+а встречается довольно часто и играет важную роль, часто определяют оператор:
Х=а+а.
Скобки Пуассона оператора Х с операторами a и a+ выглядят так:
[Х, а] = Ха–аХ = а+аа–аа+а = (а+а–аа+) а = – а.
Аналогично находим, что [Х,a+] = a+.
Как легко видеть из выражения для гамильтониана, его собственные значения определяются собственными значениями оператора Х=а+а. Эти собственные значения – целые положительные числа, поскольку решение для гармонического осциллятора хорошо известно. Пусть собственные вектора или волновые функции (собственные состояния) обозначаются по Дираку как | >. Это – "кет-вектор". Вектор, комплексно сопряженный кет-вектору, т.е. * записывается < | и называется "бра-вектор". Запись <|A|> означает интеграл вида
и называется "бра-кет". Это удобные обозначения для работы с операторами рождения и уничтожения возбуждений. Для оператора Х=а+а
можно написать
Х | > = n | > .
Здесь n – натуральное положительное число. Легко проверить, что действие операторов Ха и Хa+ на состояние | > дает
Ха|>=а (Х–1)|>= а(n–1)|>= (n–1) а|> ; Ха+|>= (n+1) a+|> .
Поэтому а | > и a+ | > можно рассматривать как собственные состояния оператора Х, имеющие собственные значения n–1 и n+1 соответственно. Тогда, если рассматривать наинизшее состояние |0>, то собственному состоянию a+ |0>, согласно написанному уравнению, соответствует собственное значение n=1. Следовательно, состояние a+ |0> можно записать так:
a+|0>=|1>const.
Повторяя этот процесс n раз, получим:
a+|n>=|n+1>const.
Аналогично, действие оператора а на систему выглядит так:
а|n>=|n–1> const.
Константы, входящие в эти выражения, можно получить, так что действие операторов рождения и уничтожения возбуждения выглядит следующим образом:
a+|n>=(n+1)1/2|n+1>
a|n>=(n)1/2|n–1>
Таким образом, действие оператора a+ переводит систему в ближайшее более высокое состояние. Отсюда термин "оператор рождения". Оператор a, действуя на собственное состояние системы, переводит ее в ближайшее более низкое состояние; отсюда термин "оператор уничтожения".