5.2. Поперечные и продольные оптические колебания

Оптические колебания при k0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения m_kA_k=0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k=0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m₊ и m_– , приведенная масса равна  = m₊m_–/m₊+m_– , а величина /V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут w:

,

где u₊ и u_– смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов w в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что w=w_t+w_l. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа поперечных волн W_t=W_t1+W_t2, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы.

При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещенияw и поляризации P:

Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; b_ij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k  0, т.е. для длин волн возбуждений >>a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b₁₁W – упругая механическая сила; член b₁₂Е – электрическая сила (сила Кулона ), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в среде волн с k  0.

Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом потенциале:

Подстановка этих решений в систему уравнений дает:

.

Из первого уравнения следует:

.

Поскольку D=E+4P=E, то

.

Из соображений размерности величина –b₁₁=_о² представляет собой константу, описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды  (т.е.  ). Таким образом, –b₁₁=_ТО².

Для очень высоких частот, когда >>_TO, поляризация решетки определяется только электронной поляризацией среды и  = _ = n². Поэтому

.

При низких частотах, когда <<_TO , поляризация среды определяется как электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная  =_о и

.

Используя выражение для b₁₂b₂₁, выражение для диэлектрической проницаемости можно записать следующим образом:

Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис. 37).

Рис. 37. Диэлектрическая проницаемость () и коэффициент отражения R() кристалла вблизи одиночного резонанса на частоте _TO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного затухания (пунктирная кривая).

Она хорошо описывает поведение  в широкой области частот. Исключением является только область   _TO, поскольку при  =_TO диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности   . Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание. В этом случае уравнение для смещения w выглядит так:

.

Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической проницаемости:

Комплексность  означает поглощение энергии при _TO. Данная формула, конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для кристалла NaCl: _o=5.62, _=2.25=n²; для воды Н₂О: _о=81, _=n²=1.322².