6. Квантовомеханическое представление колебаний

6.1. Нормальные колебания.

Рассмотрение решений колебательной задачи трехмерного кристалла указывает, что каждый атом (n,l) может участвовать в колебаниях, отличающихся волновым вектором k, амплитудой A и частотой _j(k):

.

Произвольное движение атомов U^l_n может быть представлено как линейная суперпозиция отдельных гармонических движений, отличающихся волновым вектором k (а значит и частотой _j(k)) и номером ветви j:

Здесь величины

– весовые множители, характеризующий относительный вклад в амплитуду движения атома с номером (n,l) конкретной моды с волновым вектором k и частотой _j(k). Суммирование в этом выражении производится по всем N возможным дискетным значениям волнового вектора k=(2/Na)p и по 3s ветвям с номером j.

Полная энергия E (кинетическая T и потенциальная V) колеблющейся решетки имеет вид:

.

Член, отвечающий кинетической энергии достаточно прост – это сумма кинетических энергий определенных частиц кристалла. Поэтому суммирования происходит по всем точкам физического пространства кристалла. Член, описывающий потенциальную энергию, имеет другой вид, – это сумма перекрестных членов, относящихся к разным точкам реального пространства. Это связано с тем, что потенциальная энергия зависит от взаимных смещений атомов, находящихся в разных узлах решетки.

Ясно, что подходящим преобразованием исходных координат u^l_n можно перейти к новым координатам Q_j(k), в которых и кинетическая и потенциальная энергия кристалла будет представлена в виде суммы квадратов, т.е. будет отсутствовать перекрестные члены. Физический смысл преобразования, приводящего к диагональному виду сразу две квадратичные формы, достаточно ясен. Первым шагом нужно выбрать такое преобразование исходных координат, которое диагонализирует первую квадратичную форму. Это всегда можно сделать, поскольку в координатах, совпадающих с главными полуосями поверхности второго порядка (гиперэллипсоида), с которой ассоциируется квадратичная форма, она будет диагонализирована. При этом вторая квадратичная форма изменится, но в общем случае диагональной не станет. Вторым шагом можно проделать преобразование, при котором гиперэллипсоид первой формы преобразуется в гиперсферу, а вторая квадратичная форма опять останется недиагональной. Последним шагом явится такое преобразование координат, при котором координаты могут быть выбраны совпадающими с главными полуосями гиперповерхности второго порядка, соответствующей второй квадратичной форме. В этих координатах вторая квадратичная форма будет диагонализирована, в то же время первая квадратичная форма останется квадратичной, поскольку была гиперсферой.

Выбранные таким образом координаты называются нормальными координатами. Они являются линейными комбинациями исходных декартовых координат, изменяются по косинусоидальному (или синусоидальному) закону и описывают движение всех частиц системы с одной частотой и различной амплитудой. Нормальные координаты определяются преобразованием, обратным к рассмотренному:

.

Используя эти координаты, можно получить выражение для энергии колебаний кристалла, которое не будет содержать перекрестных членов, относящимся к разным точкам пространства:

.

Суммирование в этом выражении происходит по N значениям волнового вектора k и 3s ветвям j. Таким образом, полная энергия кристалла может быть представлена в виде суммы энергий независимых осцилляторов, характеризуемых волновым вектором k и частотой _j(k). В отличие от выражения энергии в координатах смещений, данное выражение содержит сумму по аргументам, относящимся к одной точке пространства волновых векторов k (т.е. обратного пространства). Используя выражение для обобщенного импульса

,

полную энергию кристалла можно записать в виде :

.