- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
Ангармонизм колебаний легко учесть, рассматривая более высокие члены разложения потенциальной энергии по смещениям атомов. (К ангармоническим членам относятся члены порядка выше второго в этом разложении). Для отдельного осциллятора полный гамильтониан H можно тогда представить как сумму гармонической части гамильтониана Hо и ангармонической поправки H′:
.
Ангармоническая поправка учитывает кубический член и член четвертого порядка по смещению в разложении потенциальной энергии кристалла. Если возмущение H′ мало, то на основании теории возмущений можно найти, что поправка n второго порядка теории возмущений к энергетическому уровню n0 гармонического осциллятора равна:
.
Матричные злементы H′nn и H′nm, входящие в это выражение, равны:
H′ nn=<n|H′ n>; H′nm=<m|H′|n>; H′nm=<n|H′|m> .
Они вычисляются при использовании невозмущенных (гармонических) волновых функций |n> и |n′>.
Оператор x3 (и x4), входящий в возмущение H′, может быть выражен через операторы рождения a+ и уничтожения a и может, следовательно, повышать, либо понижать квантовый уровень осциллятора, либо оставлять возбуждение осциллятора без изменений. В последнем случае любой переход в более высокое (или более низкое) состояние должен "одновременно" сопровождаться переходом в более низкое (высокое) состояние. Поскольку действие оператора рождения a+ и оператора уничтожения a известно, то можно вычислить член первого порядка H′nn и члены второго порядка H′ nm и H′ mn диаграммным методом, используя следующие правила:
1. Нарисовать горизонтальные линии – уровни энергии невозмущенного осциллятора (поскольку в приближении рассматриваются невозмущенные волновые функции);
2. Невозмущенные состояния можно соединять наклонными стрелками вверх и вниз, представляющими переходы между уровнями, описываемыми операторами рождения а+ и уничтожения а возбуждения. Стрелка вверх соответствует вкладу в матричный элемент величины [(ћ/2m)(n+1)]1/2, а стрелка вниз – вкладу [(ћ/2m)(n)]1/2 ;
3. Необходимо нарисовать столько переходов, каков порядок p возмущения:
x3=(a++a)3= a+3+....; x4=(a++a)4= a+4+....; и т.д.;
4. Следует нарисовать все возможные переходы из данного состояния n в конечное состояние m , используя число переходов, соответствующее порядку возмущения p. Это отбирает из члена типа (а++а)p разрешенные для данного перехода комбинации;
5. От каждой диаграммы получается член, состоящий из p вкладов (по одному от каждой линии). Необходимо учесть, что могут существовать разные варианты переходов из n в m , причем промежуточные состояния могут быть виртуальны.
В нашем случае член первого порядка теории возмущений описывается матричным элементом <n| H′n>= H′mn, содержит два слагаемых (a3x3)nn и (a4x4)nn, и вызывает смещение энергетического уровня на величину 1n(куб) и 1n(четв). Очевидно, невозможно нарисовать три перехода так, чтобы начальное и конечное состояние было бы одним и тем же состоянием n. Поэтому 1n(куб)=(a3x3)nn=0. Диаграммы, представляющие член (a4x4)nn, показаны на следующей схеме:
Вклад в H′nn n2 n1 n0
1. n+2 -----------
n+1 ----------- a+a+aa (n+1)(n+2) 1 3 2
-----------
2. n+1 ----------- a+aa+a (n+1)(n+1) 1 2 1
N -----------
3. n+1 -----------
n ----------- a+aaa+ (n+1)(n) 1 1 0
n–1 -----------
4. n+1 -----------
n ----------- aa+a+a (n)(n+1) 1 1 0
n–-1 -----------
5. n ----------- a+aa+a (n)(n) 1 1 0
n–1 -----------
6. n -----------
n-1 ----------- aaa+a+ (n)(n-1) 1 3 2
n-2 -----------
Сумма 6n2+ 6n+ 3.
Таким образом, общий вклад члена четвертого порядка, вызывающего сдвиг энергетического уровня осциллятора равен:
1n(четв)=(a4x4)nn=a4(6n2+6n+6).
Член второго порядка по возмущению H′nmH′mn включает и a3x3 и a4x4. Вклад члена a4x4 имеет более высокий порядок, чем члена a3x3. Поэтому имеет смысл рассматривать только вклад, связанный с кубическим членом. Составляя подобные диаграммы для каждого члена ряда и учитывая весовой множитель каждого члена [0n–0n]–1, можно выполнить суммирование по всем разрешенным промежуточным состояниям и найти вклад в сдвиг энергетического уровня осциллятора:
(2)n(куб) = – a23(30n2+30n+11).
Поэтому энергетические уровни ангармонического осциллятора определяется следующим выражением:
n=(n+1/2)ћ+A(n2+n)+A0
A0=(ћ/m)2(3a4/4–11a32/8m2); A=(ћ/m)2(3a4/2–15a32/4m2).
На рис. 42. показаны состояния гармонического и ангармонического осцилляторов. Кривая потенциальной энергии ангармонического осциллятора и аппроксимация ее параболической кривой (гармоническое приближение) демонстрируется на рис.42а. Для гармонического осциллятора собственные значения энергии En известны из решения уравнения Шрёдингера En=ћ(n+1/2) и указаны на рисунке. В ангармоническом случае поправку к энергиям En можно рассчитать с помощью теории возмущений. Вычисление поправок к энергии гармонического осциллятора диаграммным способом показано на рис. 42б. Поправка первого и второго порядка по теории возмущений выражается через матричные элементы переходов H′nn,, H′′n,, H′nn′ при использовании невозмущенных волновых функций |n> и |n′> и может быть вычислена диаграммным методом, если использовать операторы рождения a+ и уничтожения a возбуждений, которые либо увеличивают квантовое число на единицу, либо уменьшают его на единицу. На диаграмме горизонтальными линиями указаны энергетические состояния гармонического осциллятора с квантовыми числами …n-1, n, n+1… и т.д. Член первого порядка E(1)n содержит вклады (a3x3)nn и (a4x4)nn и вызывает смещение уровня на величину En(куб) и En(четв). Поскольку невозможно нарисовать три перехода, чтобы и начальное и конечное состояние было бы одинаковым, член En(куб)=0. Вычисление члена четвертого порядка En(четв) в первом приближении теории возмущений дает шесть вариантов переходов с рождением и уничтожением возбуждения.
Поскольку каждый акт рождения из состояния n дает вклад, пропорциональный (n+1)1/2, а акт уничтожения из состояния n – вклад, пропорциональный n1/2, суммарная поправка к энергии может быть вычислена, как это показано на диаграмме. В первой колонке показаны возможные переходы, во второй – последовательность действия операторов, в третьей – вклады соответствующих процессов, а в четвертой колонке указаны раздельно вклады в энергию при степенях квантового числа n: n2, n1, n0. Поправка во втором порядке теории возмущений (сумма по всем возможным состояниям системы) обычно рассматривается только для кубического ангармонического члена.
Рис. 42. Ангармонический осциллятор.