5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
При рассмотрении длинноволновых оптических колебаний кристалла делалось неявное допущение, что скорость распространения электрического поля, возникающего при колебаниях зарядов и действующего на эти заряды, бесконечно велика, т.е. c=. На самом деле, скорость распространения электромагнитного взаимодействия конечна, тем более в области оптических частот, где n>1. Она может быть сравнима с групповой скоростью распространения упругих волн. В таком случае колебания ионов кристалла вызывает поле, которое воздействует на колебания решетки не мгновенно, но с запаздыванием. Для учета этого эффекта к уравнениям движения необходимо добавить уравнения Максвелла:
Уравнения Максвелла написаны для немагнитной среды (=1), и в случае отсутствия свободных зарядов.
Если механические колебания решетки и электромагнитное поле, описываемое уравнениями Максвелла, независимы друг от друга, дисперсионные зависимости механических движений и электромагнитного поля друг с другом никак не связаны, и дисперсионное уравнение для электромагнитного поля в кристалле будет иметь вид: =ck/1/2 (см. рис 40.). Правда, здесь неясно, какую диэлектрическую проницаемость использовать – o или . Однако, если ионные движения и электромагнитное поле связаны (как это имеет место в уравнениях (*), то дисперсионная зависимость окажется сложнее, поскольку необходимо рассматривать одновременно механические колебания и электромагнитную волну при учете их взаимодействия, т.е. решить систему уравнений (*). Будем рассматривать решения лишь в области малых значений волнового вектора k и искать решения системы в виде плоских волн:
Подстановка этих решений в систему c уравнениями Максвелла дает:
Поле E не равно нулю. В противном случае из условий [k,Е] = /cH магнитное поле H=0; из [k,H]= –/c(E+4P) следует, что поляризация P=0; а из первого уравнения следует, что при этих условиях смещения W равны нулю w=0. Это тривиальный случай.
Первые два уравнения, как известно, дают
.
Поскольку D=E+4 P = E, то
.
Далее, используя условие поперечности поля смещения D, (k,D)=0, получим уравнение:
,
которое имеет два решения: 1. – =0 и 2. – (k,E)=0.
1 решение: =0; D=0; и E+4P=0. Кроме того [k,H]=–/c(E+4P)=0 и (k,H)=0. Равенство нулю одновременно векторного и скалярного произведения означает, что магнитное поле H равно нулю H=0. Однако, электрическое поле в волне нулю не равно E= –4P, так что вектора E, k, P и w параллельны друг другу: E║k, P║E, и w║P. Это продольная волна, частота которой определяется равенством нулю диэлектрической проницаемости и соотношением LST:
.
Эта та же самая волна, которая была получена ранее. Запаздывание на ее поведение не влияет (рис. 40).
2 решение: (k,E)=0, но E=0, значит Ek. Кроме того [k,E]=/cH, поэтому три вектора k, E, H ортогональны друг другу, и в выражениях для скалярного и векторного произведения можно опустить и квадратные [ ] и круглые ( ) скобки:
.
Исключая магнитное поле из эти выражений, получим дисперсионное соотношение:
.
Это квадратное уравнение относительно частоты. Дисперсионная зависимость для поперечной ветви также показана на рис. 40. Каждому значению волнового вектора k соответствует две волны с различными частотами.
Рис. 40. Поляритонные кривые. а) Схема дисперсионных зависимостей механических колебаний решетки (LO и TO ветви) и электромагнитного поля с дисперсией =ck; 1 – продольная оптическая ветвь, 2 – нижняя и верхняя поляритонная ветви. Таким образом, для каждого волнового вектора в кристалле в данном направлении могут распространяться не две, а три волны, две из которых имеют всегда большой вес механической составляющей, а одна близка по виду к электромагнитной волне. По мере увеличения волнового вектора вклады механической и электромагнитной составляющих в каждой из волн меняются, а в области пересечения идеальных дисперсионных кривых смешивание этих волн максимально, что позволяет рассматривать такое возбуждение как поляритон. б) Используемые в теории приближения при рассмотрении поляритона: I – чисто механическое приближение, рассматривающее колеблющиеся атомы как точечные массы без заряда (механический экситон), II – кулоновское приближение, в котором учтены заряды на колеблющихся атомах, что приводит к появлению продольного полю поляризации и расщеплению частот с k0 на продольные и поперечные колебания даже для кубических кристаллов (кулоновский экситон), III – реальное возбуждение в кристалле, учитывающее запаздывающее взаимодействие электрического поля на колебания заряженных частиц вследствие конечности скорости распространения света (поляритон).
При k=0 имеется два решения с частотами 1=0 и =LO. При k решения соответствуют частотам 1TO и ck/1/2. При k две асимптоты (1) и (2) имеют вид ck/1/2 и ck/о1/2. В области частот между продольной LO и поперечной TO частотой решений системы уравнений механических движений и электромагнитного поля не существует, т.е. электромагнитные волны с такими частотами не могут распространяться в кристалле. Процент механической энергии в поперечной ветви меняется в зависимости от величины волнового вектора k (рис.41).
Рис. 41. Процент механической энергии в реальном возбуждении кристалла (в поляритоне) в зависимости от величины волнового вектора k.
При малых волновых векторах нижняя ветвь b представляет собой в основном поперечное электромагнитное колебание, и по мере увеличения k процент механической энергии в колебании этого типа растет, а частота приближается к частоте поперечной механической волны. В верхней ветви a, наоборот, при малых k волна представляет на 70% механическое возбуждение с частотой вблизи LO, а при больших значения вектора k это в основном поперечная электромагнитная волна с дисперсионной зависимостью (ck/)2=..
Таким образом, реальное возбуждение в кристаллической решетке представляет собой смешанное механическое и электромагнитное возбуждение, которое называется поляритоном, а каждому значению волнового вектора в кристалле соответствует три волны: одна продольная механическая волна и две смешанные поперечные волны с различным значением механических и электромагнитных вкладов.