- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
5. Полярные колебания в кристаллах
5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
В плоской поперечной акустической волне, распространяющейся вдоль оси x вектор смещения частиц ut перпендикулярен направлению распространения волны, т.е. волновому вектору k. Для такой волны три ортогональные компоненты вектора смещения таковы, что продольная компонента utx=0, а поперечные компоненты uty и utz не зависят от y и z, поскольку плоскость yz является плоскостью постоянной фазы. Таким образом,
.
С другой стороны, поперечные смещения есть функции x uty=f(x) и utz=f(x), поскольку эти смещения представляют собой волну, распространяющуюся вдоль направления x:
.
Поэтому:
.
Итак, поле смещений ut для поперечной волны таково, что
divut=0, а rot ut0.
Такое поле называется соленоидальным и подобно магнитному полю. Условие равенства нулю дивергенции вектора ut означает, что при распространении поперечной волны не меняется макроскопический объем среды. Наблюдается только смещение объемов среды друг относительно друга, так что среда испытывает деформацию сдвига, которая определяется модулем сдвига G. Поэтому частота поперечной акустической волны и ее скорость связана с величиной модуля сдвига: 2G.
Для продольной волны вектор смещения ul=Alexp[i(.t–kx)] имеет только проекцию на направление x, т.е. ul(ulx,0,0), а сама величина Ulx зависит лишь от координаты x, но не зависит от координат y и z. Поэтому дивергенция вектора продольного смещения divul0, что означает, что среда меняет свой объем при распространении волны. Легко показать, что в этом случае rotul=0. Итак, для поля продольной волны:
divut0, а rotut=0 .
Такое поле называется потенциальным (консервативным) полем и описывается градиентом (grad) некоторой скалярной величины. Поскольку при распространении волны возникает волна сжатия и разряжения, частота продольной акустической волны, а значит и скорость, определяется модулем упругости среды Е (модулем Юнга). Связь между модулем сдвига G и модулем Юнга Е дается соотношением:
Поэтому G<E и l>t.
Следует отметить, что для высокосимметричных кристаллов существует вырождение двух поперечных волн для большинства направлений в кристалле. В кубических кристаллах, например, направления x, y и z переходят друг в друга при применении операции поворота на угол 120о вокруг направления (111). Поэтому скорости поперечных звуковых волн имеют одинаковые величины в направлениях x, y и z. В других направлениях скорости двух поперечных волн могут и различаться, а в более низкосимметричных кристаллах волны могут и не разделяться на чисто продольные и чисто поперечные. Особенности вырождения поперечных волн в кубическом кристалле представлены в следующей таблице.
Таблица 7.
ВЫРОЖДЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
Направление |
t1 t2 l |
вектор k
|
(100) |
t1 = t2 l |
Г – X |
(111) |
t1 = t2 l |
Г – L |
(101) |
t1 = t2 l |
Г – K |
(102) |
t1 = t2 l |
Г – M |