Неприводимые представления группы трансляций

	(E,)	(E,ai)1	(E,ai)2	(E,ai)3	(E,ai)n	(E,ai)N-1
Г(0)	1	1	1	1	1	1
Г(1)	1	e 2i1/N	e2i1*2/N	e2i1*3/N	.	e2i1*(N-1)/N
Г(2)	1	e2i2/N	e2i2*2/N	e2i2*3/N	.	e2i2*(N-1)/N
Г(3)	1	e2i3/N	e2i3*2/N	e2i3*3/N	.	e2i3*(N-1)/N
Г(4)	…	…	…	...	.	..
…..	…	…	…	…		..
Г(N-1)	1	e2i(N-1)1/N	…	…		e2i(N-1)(N-1)/N

Таким образом, применение трансляции (E,t_n) к нормальной координате Q_i дает:

(E,t_n)Q_i=exp[i(qt_n)] Q_{i .}

Поэтому оказывается, что координата Q_i должна иметь еще один индекс (квантовое число) – это волновой вектор возбуждения q. В нормальном колебании кристалла атомы в различных элементарных ячейках колеблются в определенных фазовых соотношениях и с одной и той же частотой. При переходе от одной частице к трансляционно-эквивалентной, как это видно из написанного выражения, амплитуда колебаний изменяется по кристаллу, и периодичность этих изменений описывается с помощью волнового вектора q. Эта периодичность смещений в кристалле подобна стоячим волнам в картине колебаний струны. Волновое движение с q=0 будет представлять собой движение, когда движение во всех элементарных ячейках происходит в фазе. Необходимо отметить, что операция (E,t_n), действующая на Q_q(r) дает смещение в точке (r–t_n) с фазой exp[i(qt_n)], т.е.

(E,t_n)Q_q(r)  Q_q(r–t_n)=Q_q(r)*exp[i(qt_n)].

Умножив обе части на exp[iq(r–t_n)], получим важное соотношение, показывающее, что существует инвариантное относительно трансляций выражение:

Q_q(r–t_n)* exp[iq(r–t_n)]=Q_q(r)* exp[i(qr)]=inv=U_q(r).

Таким образом, операция трансляции (E,t_n) не изменяет функцию Q_q(r)exp[i(qr)], которая, следовательно, периодична с периодом решетки. Это утверждение представляет собой так называемую теорему Блоха, согласно которой собственное решение для любого возбуждения в кристалле имеет вид:

Q_q(r)=u_q(r)*exp[–i(qr)],

причем функция U_q(r) периодична с периодом решетки.

Поскольку здесь шла речь о колебаниях только для примера, вывод о виде возбуждения справедлив для любого типа возбуждения:

_q(r)=u_q(r)*exp[–i(qr)]

Используя общее правило отбора для любого матричного элемента <q,M_f,q>, получим, что соответствующий переход разрешен, если прямое произведение представлений, по которым преобразуются волновая функция начального состояния, волновая функция конечного состояния и оператор перехода M_f, содержит полносимметричное представление группы, т.е. если Г^q*Г^M*Г^q в разложении по неприводимым представлениям содержит Г⁽⁰⁾. Учитывая вид блоховских волновых функций ясно, что характер, по которому преобразуется матричный элемент, является произведением характеров сомножителей exp[i(qt_n)], exp[i(ft_n)] и exp[-i(qt_n)], так что это условие сводится к следующему соотношению:

exp [i(q+f–q)t_n]=1 или q=f+q+K_m

Здесь K_m=m₁b₁+m₂b₂+m₃b₃ целочисленный вектор обратной решетки, построенной на векторах обратной решетки b₁, b₂, b₃. Для этого вектора (по определению обратных векторов решетки) справедливо, что скалярное произведение целочисленного вектора обратной решетки K_m на целочисленный вектор прямой решетки t_n равно целому числу 2, т.е. (t_nK_m)=2(n₁m₁+n₂m₂+n₃m₃). Выражение q=f+q+K_m представляет собой закон сохранения волнового вектора (импульса), который для периодических сред сохраняется с точностью до целочисленного вектора обратной решетки. Поэтому волновой вектор возбуждения в кристалле называется квазивектором, импульс такого возбуждения называется квазиимпульсом, а соответствующее возбуждение называется квазичастицей.