Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ph_Pt_14a.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
29.08.2019
Размер:
17.86 Mб
Скачать

Санкт-петербургский государственный университет физический факультет

Кафедра физики твердого тела

С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах

Учебно-методическое пособие к курсу лекций

по физике фононов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2010

Утверждено методической комиссией физического факультета

Составитель

проф. С.В. Карпов

Рецензент

проф. В.Ф.Агекян

В учебно-методическом пособии в простой форме излагаются вопросы, связанные с возбуждением и распространения механических волн в кристаллах. Рассматривается симметрия кристаллов и их структура. Подробно рассматриваются колебания кристаллических решеток и появление зонных состояний в периодических системах. Колебания идеальных кристаллов рассматриваются как в классическом описании, так и в квантово-механическом. Большой раздел посвящен фононам в гетероструктурах, сверхрешетках и нанокристаллах. Пособие рассчитано на студентов третьего курса, изучающих основы физики твердого тела.

Санкт-Петербургский государственный университет

Физический факультет

Фононы в кристаллах и гетероструктурах

Учебно-методическое пособие к курсу лекций по физике фононов

1. Симметрия кристаллов

1.1. Кристаллическая решетка

Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Это преобразования, при которых расстояние между двумя точками тела остаются постоянными, т.е. r1r2=inv. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя различными видами преобразований являются:

  • 1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

  • 2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

  • 3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

В число преобразований симметрии тел конечных размеров не могут входить трансляции, поскольку такие операции не оставляют неподвижной хотя бы одну точку тела. Тело конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

В случае же бесконечно протяженного тела (бесконечно повторяющейся фигуры) трансляция на величину периода является операцией, которая совмещает такое тело само с самим собой.

Совершенный кристалл представляет собой образование, которое можно получить повторением одной и той же группировки атомов, называемой базисом, в трех, вообще говоря, не ортогональных направлениях пространства без изменения их ориентации. Такое повторение обеспечивается построением набора точек в пространстве, называемым пространственной решеткой, с помощью правильных (целочисленных) трансляций вида:

tn=a1n1+a2n2+a3n3 .

Здесь а1, а2, а3 – три независимых некомпланарных вектора, а n1,n2,n3 – целые

числа. Движение вдоль одного направления даст цепь, вдоль двух направлений – сеть, вдоль трех направлений – пространственную решетку. Параллелепипед, построенный на векторах ai – примитивная ячейка. Если с каждой точкой пространственной решетки связать определенным образом ориентированную группу атомов (базис), получится реальный физический объект, называемый кристаллической структурой. Атомы структуры, которые отличаются по положению на целочисленный вектор tn, называются эквивалентными или конгруэнтными.

Атомы не обязательно должны лежать в узлах пространственной сетки. Ячейку периодичности можно выбрать до некоторой степени произвольно. Примитивной ячейкой называется ячейка, на поверхности которой нет ни одного узла (кроме вершин). Сложную решетку часто можно представить как несколько примитивных решеток, вставленных друг в друга, либо как примитивную решетку со сложным базисом. Элементарная ячейка в отличие от примитивной определяется как минимальная область кристалла, периодическое повторение которой дает возможность получить весь кристалл, но обладающая всеми элементами симметрии, которыми обладает кристалл.

Присутствие трансляционного движения в элементах симметрии кристалла означает, что имеют место преобразования типа tn, множество которых подходит под определение группы. Символ элемента трансляции (Е,tn). Набор таких операций {(Е,tn)} удовлетворяет четырем постулатам группы и представляет поэтому подгруппу группы симметрии кристалла:

  • 1. (Е,tn)(Е,tm) = (Е,tn+m) правило умножения;

  • 2. А(BC)= (AB)C – ассоциативный закон;

  • 3. (Е,0) = Е – единичный элемент;

  • 4. (Е,tn)(Е,tn)1 = Е; (Е,tn)–1 = (Е,–tn) обратный элемент.

Наличие трансляций автоматически приводит к возникновению новых элементов симметрии – комбинаций трансляций с элементами симметрии точечных групп (повороты и отражения в плоскости). Типичными примерами таких операций являются винтовые оси и плоскости зеркального скольжения. Это так называемые открытые операции симметрии. Из совокупности всех возможных преобразований симметрии можно образовать группы, совместимые с трехмерной пространственной периодичностью кристаллической структуры и оставляющих кристалл инвариантным. Такие группы называются пространственными группами.

Ясно, что для тел конечных размеров симметрия тела определяется совокупностью преобразований симметрии, в которые входят лишь поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси и зеркальное отражение в некоторой плоскости.

Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол =2/n, то такая ось называется осью симметрии n-го порядка и обозначается Cn. Число n может иметь различные целые значения n=2,3.4.... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2/1 , или 0, т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию Cn два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 22/n, 32/n,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются Cn2, Cn3 и т.д. Очевидно, что если n кратно p, то Cnp=Cn/p. Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е.

Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости , то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом . Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование -1.

Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси Sn. Тело обладает зеркально-поворотной осью n-го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2/n и последующем отражении в плоскости h, перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n-нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2/n, а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном числе n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. S2p2p=E. Зеркально-поворотное преобразование обозначается Sn. Поскольку при отражении в плоскости , перпендикулярной оси Cn, принято ставить индекс h при , плоскость обозначается h. Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S2. Легко сообразить, что поворот на угол с последующим отражением в плоскости h, представляет собой преобразование инверсии I, при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C2 и плоскости h. I=S2=C2h; Ih=C2; IC2=h, т.е. операции C2, h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

Точечные группы можно построить, добавляя к группе более низкой симметрии дополнительные преобразования (оси симметрии и плоскости отражения) так, чтобы сохранить старые преобразования в группе. Таким образом можно построить следующие типы групп.Примеры некоторых точечных групп показаны на рис. 1 и 2.

A. ГРУППЫ ВРАЩЕНИЯ

1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Сn. Это возможный простейший вид симметрии, который содержит одну ось n-го порядка.

2. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ Dn={Cn,C2}, которые получаются добавлением к n-кратной оси перпендикулярную ей ось С2. Это, естественно, вызывает (генерирует) появление еще n-1 осей С2 в плоскости, перпендикулярной оси Сn, причем угол между осями равен /n.

Частный случай такой группы – D2=V – три взаимно перпендикулярных оси С2, идентичных с декартовой системой координат.

3. ТЕТРАЭДРИЧЕСКАЯ ГРУППА T={V,C3}. Это группа симметрии осей правильного тетраэдра. Имеет оси 3C2 и 4C3; классы: E; 3C2; 4C31; 4C32.

4. ГРУППА ОСЕЙ ОКТАЭДРА (КУБА) O={Т,C2}. Элементы симметрии 3C4, 4C3, 6C2. Все оси одинаковой кратности (т.е. одного порядка) – эквивалентные, т.е. операции Сnk и Cn-k сопряжены. Классы группы О: Е; 8C31, 6C41, 3C42, 6C2.

5. ГРУППА ИКОСАЭДРА Р (стандартного символа нет). Группа имеет следующие элементы симметрии: 6C5, 10C3, 15C2 и включает в себя 60 преобразований (операций симметрии).

В. ГРУППЫ ВТОРОГО РОДА

Если к вращательной группе G добавит подходящее отражение, получим новую группу {G,}. Поскольку 2=E, эти группы второго рода имеют одинаковое число вращений простых и вращений с отражением. При добавлении последующих плоскостей в группу необходимо, чтобы пересечение двух плоскостей, которое является осью Сn, обязательно входило бы в группу G. Хотя инверсия не является самостоятельной основной операцией и входит в группы {G,}, однако часто удобно указывать имеет группа центр инверсии или нет, ибо тогда очень просто получать классы. Таким образом можно получить все остальные группы. Обычно считают, что главная n-кратная ось идет вертикально. Как всегда значок v – вертикальных плоскостей, h – горизонтальных.

6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Сnh={Cn,h}. Частные случаи: a) C1h: h=Cs; b) C2h: E, C2, h, C2h =I; C3h: E, C31, C32, h, C31h =S31, C32h =S32.

5. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Сnv={Cn,v}. Частные случаи: a)C2v: E, C2, v, v; b) C3v: E, C31, C32, v, v, v .

6. ГРУППЫ Sn={Sn}. Группы операции, единственным элементом симметрии которых является зеркально-поворотная ось n-го порядка Sn=Cnh.

7. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ Dnh={Dnh,h} . Например, в группе D3h элементы симметрии: C3, h, 3v, 3C2; Преобразования (элементы группы): E, C31,C32; 3C2; h; S31,S32; 3v. См. рис. 1.

10. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ Dnh={Dn,d}. Симметрия D3d. Элементы симметрии: C3, 3C2, S6, I, 3d. Операции: E; C31, C32; 3C2; I; S61, S63; 3d.

11. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Тd={Vd,C3}. Группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Всего 24 элемента разбиты по следующим 5 классам: E; 8C3, 6, 6S4, 3C2.

12. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Тh={Vh,C3}. Поскольку Vh имеет центр инверсии, Th={T,I}. Классов в этой группе поэтому в два раза больше чем в группе T: E, 4C31, 4C32, 3C2, I, 4S61, 4S63, 3S4. См. рис. 2.

13. ГРУППА ОКТАЭДРА Oh={O,I}. Это есть группа всех преобразовании куба. Рис. 2.

14.ГРУППА ИКОСАЭДРА P={P,I}. Ph=PCi. (правильный 20-гранник c треугольными гранями).

Рис. 1. Группы симметрии C3, C4, и D3h

Рис. 2. Группы симметрии тетраэдра Td и куба Oh.

В кристалле возможны повороты только на определенные углы, т.е. существуют оси С1, С2, С3, С4, и С6. В кристаллических обозначениях это оси порядка 1, 2, 3, 4 и 6.

Общее преобразование, возможное для пространственной группы, состоит из поворота (или зеркального поворота) и последующей трансляции; такое преобразование обозначается (R,t). Закон композиции для таких преобразований (т.е. произведение) можно получить, рассматривая применение двух последовательных операций к точке с координатой x.

Если первое преобразование (R,t) переводит точку x в x, а второе преобразование (S,u) переводит точку x в x, то справедливо:

x=Rx+t и x=Sx+u, т.е x=S(Rx+t)+u=SRx+St+u

Здесь SR – произведение точечных операций симметрии, а St+u – трансляция. Таким образом, произведение (R,t)(S,u)=(SR,St+u) – закон композиции группы. Если (S,u) – оператор, обратный (R,t), то SR=E и St+u=0, т.е.

(R,t)1=(R1,–R1t)

Множество операций {(R,t)} образует группу, являющуюся пространственной группой кристалла. Эта группа не является абелевой, ибо элементы группы не коммутируют. Например,

(Е,t)(R,0)(R,0)(Е,t).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]