7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)

Акустические фононы в сверхрешетках получаются из акустических фононов в объемных материалах в результате усреднения акустических дисперсионных соотношений для каждого q и далее путем сложения ветвей столько раз, сколько потребуется в пределах мини-ЗБ. В случае Ge₂Si₂ (см. рис. 57) появляется только одна щель на границе ЗБ. Отметим, что в общем случае эта граница соответствует продольному вектору k с величиной π/d/, в то время как в объемном кристалле для направления [001] соответствующий вектор имеет величину 2π/a₀, т.е. вдвое больший, чем на рис. 57.

В объемном случае обычно предполагается, что волновой вектор фононов, активных в рамановском рассеянии, очень мал, т.е. только фононы, относящиеся к центру зоны, могут быть раман-активными. Обычное объяснение этому утверждению в пределах дипольного приближения довольно очевидно: длина волны света много больше, чем характеристические длины в материале (т.е. радиус экситона и/или постоянная решетки). Ограничение k ~ 0 остается справедливым для короткопериодных сверхрешеток, но должно быть изменено при достаточно большой величине d. Определим приведенную величину волнового вектора рассеяния k для рассеяния назад как

k = [4πn/λ]/[π/λ]=4πn/λ .

Для типичных значений показателя преломления п ~ 3, 5 и длины волны лазера λ=500 нм, k=1 для d=36 нм, что соответствует приблизительно 130 монослоям GaAs. В этом случае рассеяние происходит на фононах, относящихся к границе мини-ЗБ. Таким образом, меняя d или λ, можно охватить весь диапазон изменений приведенного волнового вектора и даже достичь границы мини-ЗБ. Наблюдаемые частоты в рамановском рассеянии для геометрии назад, когда волновой вектор фонона равен 4πn/λ, легко получить из анализа рис. 59, где показана сложенная акустическая ветвь и значение k.

Экспериментальные спектры комбинационного рассеяния приведены на рис. 60, из которого видно, что наблюдаются низкочастотные линии, позволяющие с высокой точностью определять период сверхрешетки.

Рис. 60. Соответствие дисперсионных сложенных ветвей и спектра комбинационного рассеяния сверхрешетки GaAs/AlAs.

7.6. Приближение механического континуума.

Квантованные неполярные оптические моды

Квантование неполярных оптических мод математически выражается наложением граничного условия, требующего, чтобы амплитуды колебаний обращались в нуль в непосред­ственной близости от границ между слоями А-В и В-А. При этих условиях мы полу­чаем А-подобные и В-подобные квантованные оптические моды, зависимость частот которых от дискретных векторов k можно найти из соответствующих дисперсионных соотношений для объемного случая:

Это уравнение можно использовать для LO и для ТО мод. Соответствующие сме­щения атомов меняют знак при переходе от одного атомного слоя к соседнему, как это требуется для оптических мод, с величинами, определяемыми огибающими функциями

u_m(z) = cos k_mz, m=1, 3, 5.. ; u_m(z) = sin k_mz, m=2, 4, 6,... ,

где z указывает на положение атомной плоскости вдоль оси сверхрешетки, а значение z=0 находится в середине слоя.

Рис. 61. Картина смещений для AlAs-подобных квантованных LO мод в сверхрешетке (GaAs)₅/(AlAs)₅; k_х = 0, k_г→∞. а) – слой GaAs, б) – слой AlAs. Крупным кружками (голубыми) показана величина смещения в модах LO₁, LO₂, LO₃ для ато­мов As, а маленькими (зелеными) кружками — для атомов Ga и А1.

Обычно написанное выражение является хорошим приближением для эффективного волнового вектора. Однако, в частном случае короткопериодных сверхрешеток (когда период состоит только из нескольких атомных слоев) следует понять, будет ли приближение, в котором на границе каждого слоя материала волновая функция в точности равна нулю, наилучшим. Расчет показывает (см. рис.61), что разумнее считать огибающую функцию равной нулю на первых атомах «другого сорта» (т.е. на атомах А для В-подобных колебаний и наоборот). Колебательные амплитуды ведут себя в соответствии с упомянутым выражением, но эффективные векторы k_т нужно сделать слегка меньше, чем это указано: амплитуды исчезают не на номинальной границе слоя AlAs, а около первого слоя Ga, вне границы.

Это связано с тем, что граница образована слоями As, которые должны все еще колебаться на частотах AlAs, в то время как Ga, имеющий гораздо большую массу, чем Аl, не будет колебаться. Последний факт можно учесть, заменив толщину слоя d_A, в выражении на d_A,B+а_о /4, где а_о — объемная постоянная решетки, которая соответствует четырем атомным слоям для материалов типа алмаза и цинковой обманки.