1.4. Классификация возбуждений в кристаллах

Поскольку гамильтониан кристалла инвариантен относительно элементов симметрии пространственной группы кристалла, совокупность решений уравнения Шредингера _N, относящихся к одной и той же энергии _N, под действием элементов пространственной группы кристалла преобразуются в линейные комбинации тех же функций так, что эти функции образуют базис неприводимого представления пространственной группы. Это следует из того очевидного факта, что волновое уравнение Шредингера не изменяется при преобразованиях группы симметрии кристалла в том отношении, что две системы решений – одно, полученное для первоначального уравнения, а другое – для уравнения, получающегося после преобразования, – не могут быть независимы друг от друга. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что все возбуждения в кристалле смогут быть классифицированы по неприводимым представлениям пространственной группы, независимо от их физической природы. Это могут быть электронные, колебательные, спиновые, экситонные и прочие возбуждения, природа которых различна. В связи с этим полезно более подробно остановиться на проблеме классификации колебательных состояний кристалла, учитывая, что в этом случае допускается удобная классическая модель возбуждений.

Колебания в кристаллах математически описываются обычным образом путем составления уравнений движения атомов в простых модельных системах и поиска периодический решений. При таком подходе математическая модель бесконечного кристалла по необходимости отбрасывается и заменяется физической моделью с циклическими граничными условиями, которые заключаются в том, что граничные атомы на противоположных гранях кристалла считаются идентичными, т.е.

(E,t_N)=(E,а₁N+а₂N+а₃N)=(E,0).

Такое допущение сильно упрощает математическую сторону дела, хотя приходится предполагать, что оно не отразится на решениях, описывающих свойства кристалла (теорема Лидермана).

Кристалл, состоящий из N примитивных ячеек, каждая из которых содержит s атомов (базис), имеет всего 3sN степеней свободы и столько же решений колебательной задачи. Решения, однако, тесным образом связаны с периодичностью кристалла. Действительно, если решение колебательной задачи найдено, и Q_i – невырожденная нормальная координата движения, то в силу трансляционной симметрии применение операции трансляции (E,t_n) к координате Q_i должно дать:

(E,t_n)Q_i=Q_i ,

где  – характер преобразования (E,t_n). Поскольку группа трансляций - абелева, ее представления одномерны (число представлений равно числу классов, а сумма квадратов размерностей всех представлений равно порядку группы). Поэтому операции трансляции (E,a₁) можно сопоставить число ₁, операции (E,n₁a₁) число ₁ⁿ¹, а операции (E,t_n) число ₁ⁿ¹₂ⁿ²₃ⁿ³. С другой стороны, из-за циклических граничных условий (E,a_i)^N=(E,0), т.е. _i^N=1. Следовательно, число  _i есть корень степени N из 1:

_i=exp(2im_i/N) m_i=0,1,2....N–1

Поскольку каждое из чисел m_i может принимать N значений, ясно, что имеется N³ неприводимых представлений вида

exp[2i(m₁n₁+m₂n₂+m₃n₃)/N]

и таблица неприводимых представлений группы трансляций выглядит так, как представлено в таблице 5.

Полученное выражение для неприводимого представления трансляции удобно представить в более компактной форме, ибо в скобках стоит скалярное произведение двух векторов q и t_n:

q= (m₁b₁+m₂b₂+m₃b₃)/N=K_m/N,

t_n=a₁n₁+a₂n₂+a₃n₃

b₁=2[a₂a₃]/V, b₂=2[a₃a₁]/V, b₃=2 [a₁a₂]/V, V=(а₁[a₂a₃]) .

Вектора b_i и a_j выбраны таким образом, что (a_jb_i)=_ij. Вектора b_i носят название векторов обратной решетки,а K_m – целочисленный вектор обратной решетки.

Таким образом, характер  преобразования (E,t_n) равен (E,t_n)=exp[i(qt_n)].

Таблица 5.