3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)

Дисперсионное соотношение, связывающее частоту  и волновой вектор k нормальной моды колебания одномерной моноатомной цепочки,

представляет собой важное соотношение, встречающееся в ряде физических задач. Сразу отметим, что волны, удовлетворяющие линейной связи между частотой и волновым вектором, т.е. удовлетворяющие соотношению /k=const, называются недиспергирующими волнами. Среда, в которой распространяются такие волны, называются также недиспергирующей. Если отношение /k зависит от длины волны (а значит и oт частоты), волны называются диспергирующими. В этом случае график функции =(k) нелинеен.

1. Двухпроводная электрическая линия

Примером системы с дисперсионной зависимостью, аналогичной дисперсионной зависимости цепочки связанных упругими силами масс, является цепочка из связанных контуров, состоящая из емкостей C и индуктивностей L (рис. 12).

Рис. 12. Двухпроводная электрическая линия: а) эквивалентная электрическая схема; б) уравнение токов в каждом из контуров; система этих N дифференциальных уравнений для N контуров полностью идентична системе уравнений, описывающих одноатомную цепочку, и проводит к аналогичной дисперсионной зависимости (k), в) дисперсионная зависимость (k), показывающая, что такая электрическая линия является фильтром низких частот с максимальной частотой пропускания ²_max=4C^–1/L.

Уравнения Кирхгоффа, описывающие круговые токи в каждом контуре и показывающие, что сумма падений напряжений на элементах контура равна ЭДС источника в замкнутом контуре, выглядят следующим образом:

.

Здесь учтено, что величина тока через конденсаторы представляет собой разницу между токами в n-м контуре и предыдущем n–1 или последующим n+1 контурах, а полное падение напряжений на элементах контура равно нулю, поскольку в цепи нет источников ЭДС. Дифференцирую это выражение, можно получить систему N дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих токи в электрической цепи:

.

Это система уравнений полностью аналогична системе механической линейной цепочки с массами m. Дисперсионное соотношение поэтому имеет такой же вид, как и у одномерной одноатомной цепочки, если произвести замену величины /m на C^–1/L:

.

2. Акустические колебания в системе резонаторов

Акустический аналог системы, обладающей дисперсией, можно представить себе следующим образом. Пусть имеется бесконечный ряд одинаковых акустических резонаторов объемом V, соединенных трубками объемом u. Пусть ρ – плотность газа, находящегося в системе, а p_n – давление газа в n-ом резонаторе. Уравнение движения массы m газа в соединительных трубках можно получить, предполагая, что в каждый момент времени газ в резонаторах находится в состоянии равновесия. Эти условия позволяют написать, как меняется масса газа в каждой n-ой соединительной трубке:

.

Здесь v_n и v_n–1 – скорости массы газа, заключенного в трубке, соединяющей n-й резонатор с (n–1)-м и с (n+1)-м резонаторами, а S – сечение соединительной трубки. Ясно, что имеется бесконечное число дифференциальных уравнений, описывающих такую акустическую систему. Изменение количества газа, содержащегося в n-м резонаторе, за время dt равно:

ρ(v_n–v_n–1)Sdt .

Если через χ обозначить сжимаемость газа, то

,

где dp_n – изменение давления в n-м резонаторе. Используя это соотношение для исключения скорости из системы дифференциальных уравнений можно получить систему дифференциальных уравнений второго порядка, полностью аналогичных уравнениям, описывающим колебания масс, связанных упругими силами:

.

Если искать решения этой системы уравнений в виде бегущих волн p_n=Aexp[i(ωt–kdn)], где d – период расположения резонаторов в системе, то легко получить дисперсионные соотношения для данной задачи, т.е. найти соотношение, определяющее зависимость частоты ω от волнового числа k:

.

Это соотношение полностью аналогично дисперсионному соотношению для колебаний вязанных упругими силами масс. Отсюда следует наличие максимальной частоты распространения упругой звуковой волны в системе резонаторов. Таким образом, рассмотренная система представляет собой акустический фильтр низких частот.