7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы

Благодаря развитию современных методов роста, таких как молекулярно-пучковая эпитаксия, металлоорганическая газофазная эпитаксия и др., в настоящее время стало возможным выращивание гетероструктур, состоящих их разных типов кристаллов. Разновидностью таких структур являются сверхрешетки, в которых два типа кристаллов имеют периодическое расположение вдоль одного из направлений (ось роста). Другим типом двумерной наноструктуры является квантовая яма, представляющая собой тонкий слой одного полупроводника в достаточно объемном массиве другого полупроводника. Были успешно изготовлены и изучались структуры с размерностью единица (одномерные структуры), которые называются квантовыми проволоками. Подобные структуры изображены на рис. 45, рис. 46 и рис. 47. Цель настоящей главы состоит в изучении колебательных свойств таких двумерных, одномерных и нульмерных структур (т.н. квантовых точек).

Рис. 45. Электронно-микроскопическое изображение сверхрешетки полупроводниковых кристаллов AlAs и GaAs, состоящих из последовательного расположения 10 слоев AlAs и 10 слоев GaAs. Справа помещена фотография сверхрешетки GaSb/AlSb.

Рис. 46. Электронно-микроскопическое изображение квантовых точек некоторых полупроводниковых кристаллов.

Рис. 47. Схематическое изображение и электронно-микроскопическая фотография квантовой ямы в кристалле кремния.

7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах

Периодичноть кристалла приводит к существованию зонных разрешенных состояний (как электронных, так и колебательных). Это означает, что собственные колебания системы периодически расположенных атомов образуют области частот, в которых механические волны распространяются без затухания. В одномерной модели кристалла, представляемой часто одноатомной цепочкой, это – акустическая ветвь. В одномерной двухатомной цепочке это – акустическая и оптическая ветви.

Области распространения и затухания

Дисперсионные соотношения для одноатомной одномерной цепочки известны. Частоты возможных собственных (незатухающих) мод определяются формулой

,

где волновой вектор k задан в зоне Бриллюэна.

Для цепочки конечных размеров обычно используют циклические граничные условия Борна-Кармана, устанавливающие идентичность атома n и n+N:

u_n=A exp[i( t+nak)]=Aexp[i( t+(n+N)ak)] = u_n+N ,

exp[iNka]=1; Nka=2 p; p=0,1,2...N–1;

– /a < k=p2 /Na < + /a ; –N/2 < p < +N/2.

Таким образом, в кристалле, имеющим N элементарных ячеек, может существовать лишь N различных собственных частот (фононов). Вид дисперсионных зависимостей как функции от волновых векторов показан на рис. 48.

Так как дисперсионная зависимость (k) периодична по k с периодом 2/a, область изменения волнового вектора k также периодична и выбирается симметричной от –/a до +/a, чтобы учесть волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область, как известно, носит название первой зоны Бриллюэна.

Рис. 48. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная зависимость (k) для линейной моноатомной цепочки. в) физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2π/λ, где λ=am – длина волны возбуждения.

Таким образом, максимальная частота собственных колебаний системы не может превышать величину _max=(4β/m)^1/2. Волны с частотами  >_max будут распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1, т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину =k+i :

.

Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно, cos(ka/2)=0 и k= /a, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом  волны (рис. 49):

.

Для малых волновых векторов k~0 (2/λ) движение частиц происходит в фазе с частотами, пропорциональными величине k (ka<<1). При увеличении волнового вектора до значения /a, соответствующего границе зоны Бриллюэна, частота принимает значение _max=(4β/m)^1/2, а на более высоких частотах волновой вектор становится комплексным =/a+i, причем действительная его часть равна /a. На графике дисперсионной зависимости (рис. 51) комплексное значение волнового вектора удобно откладывать по оси k за значением /a, соответствующем границе зоны Бриллюэна, подчеркивая этим, что действительная его часть равна  /a.

Рис. 49. Колебания моноатомной цепочки с частотами выше максимальной. Вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами ²²_max=4/m, [=4/m^.sin(a/2)], где  =/a+i – комплексная величина. Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид: u_n=Aexp[i(t+an/ a)]exp(–a n). Это показано на рисунке.

В бесконечной одномерой цепочке, элементарная ячейка которой содержит 2 частицы (см. главу 4), существуют две ветви – акустическая и оптическая. Трехмерным аналогом такой модели могут быть кристаллы NaCl, KBr и др. Если ввести постоянную решетки a=a'/2, где a' – расстояние между соседними атомами, массу частиц – m₁>m₂, упругие силовые постоянные – ₁=₂=, то связь между частотой возбуждения  и волновым вектором k, которая, как известно, носит название дисперсионного соотношения, выглядит так:

.

Здесь волновой вектор k принимает ряд значений в соответствии в граничными условиями задачи. Дисперсионное условие имеет два корня ₁, ₂, так что каждому значению волнового вектора k соответствует две волны. Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и оптическую (знак +).

Значения частот при k=0 и на границе зоны Бриллюэна (k=/a) и дисперсивные и реактивные области волн в цепочке просто получить. Для акустических колебаний дисперсивная область – это область от _a^min=0 до _а^max=(2/m₁)^1/2, а для оптических это область от _o^min=(2/m₂)^1/2 до значения _o^max=(2(1/m₁+1/m₂))^1/2. Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут, не пересекая друг друга, и имеет место область запрещенных частот от значения (2/m₁)^1/2 до (2/m₂)^1/2.

В области запрещенных частот, т.е. в области от значения (2/m₁)^1/2 до (2/m₂)^1/2 и выше самой высокой частоты, равной _o^max=(2(1/m₁+1/m₂))^1/2, распространение механических волн будет происходить с затуханием, так как волновой вектор колебаний будет комплексным. Действительно, дисперсионное уравнение можно переписать как функцию от частоты:

Решение этого уравнения дает как действительные, так и комплексные значения волнового вектора  = k+i для любых частот. Легко проверить, что в области запрещенных частот между акустической и оптической ветвью действительная часть k волнового вектора  равна, как и в одноатомной цепочке, /a, так что соседние атомы колеблются в противофазе. В области запрещенных частот выше самой высокой частоты соседние атомы колеблются в фазе, т.е. действительное часть k волнового вектора равна нулю. Поэтому на графике эту часть дисперсионной зависимости рисуют слева от нуля, подчеркивая тем самым, что в этом случае имеется только мнимая часто волнового вектора.

Используя дисперсионное соотношение, можно построить зависимости (k) для одномерной модели кристалла CdSe. Подобный график для цепочки с массами m₁=2 и m₂=5 и силовых констант =35000 построен на рис. 50. Из рисунка видно, что в нанокристалле могут существовать собственные колебания не с любыми частотами, а только с теми, которые попадают в разрешённую область либо акустических движений, либо оптических колебаний. Данные колебания соответствуют фононным ветвям из области рисунка с действительными значениями волнового вектора k.

Рис. 50. Дисперсионные зависимости для одномерной двухатомной модели кристалла. Рисунок содержит 3 области волновых векторов, в которых построены дисперсионные зависимости частот колебаний механической волны. Дисперсионная зависимость (k) для двухатомной линейной цепочки. 1 – дисперсивная область, т.е. зона собственных колебательных состояний; 2 – реактивная область – красная, т.е. запрещенная зона частот.

Колебания из запрещённых зон (зона частот между акустической и оптической ветвью и область частот выше наибольшей собственной частоты) затухают в кристалле. Волновой вектор таких фононов имеет отличную от нуля мнимую часть. Значение мнимой части волнового вектора характеризует затухание таких колебаний. В областях 1 и 3 построены зависимости частот вынужденных колебаний кристалла от мнимых частей волновых векторов.

На рис. 50 область k с действительными значениями волнового вектора k, попадающими в зону Бриллюэна, представляет собой область собственных колебаний одномерной цепочки. Смещения здесь равны: u_n= Ae^ikan. Область справа представляет собой область затухающих волн с комплексным волновым вектором =π/a+ina.

Мнимая часть волнового вектора показывает, насколько быстро происходит затухание колебаний в запрещённых областях частот. Колебания, попадающие в частотную область между акустической и оптической ветвями затухают с коэффициентом α≈π/2, что на расстоянии 2a соответствует затуханию в e раз. Смещения здесь равны: u_n= Ae^iπn e^–na. В области слева от нуля существуют только затухающие колебания с чисто мнимым значением волнового вектора =i. Такие движения соответствуют затухающим колебаниям. Например, амплитуда колебания с частотой 280 см^–1 для данной модели кристалла CdS уменьшается в e раз на расстоянии в 1 элементарную ячейку.

Вид колебаний в этих случаях представлен на рис. 51.

Рис. 51. Колебания двухатомной цепочки с частотами, попадающими в запрещенные зоны. а) Вид движений атомов при частотах, попадающих в запрещенную зону между акустической и оптической ветвью 4/m₂ ² 4/m₁. В этом случае волновой вектор k является комплексным числом =k+i, Действительная часть k которого имеет значение /2, так что соседние частицы колеблются в противофазе, а мнимая часть . Поэтому смещение частиц в цепочке имеет вид: u_n=Aexp[i(t+an/a)]exp(–an). б) Вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами выше максимальной²²_max=4 [1/m₁+1/m₂]. В этом случае волновой вектор k является чисто мнимой величиной =i. Это также затухающая волна, в которой разные частицы колеблются в противофазе.