- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
Как известно, рамановское рассеяние на фононах происходит посредством электрон-фононного взаимодействия. Возможны взаимодействия двух типов. Одно, связанное со смещениями атомов, не требует, чтобы материал был полярным. Это механизм деформационного потенциала. В случае сверхрешетки оно аналогично эффекту в соответствующем объемном материале. Для систем типа Ge/Si или GaAs/AlAs это взаимодействие таково, что для рассеяния назад от плоскости [001] разрешается только рассеяние на LO фононах. Если поляризации лазера ei и рассеянного света es параллельны осям кристалла (или х, или у), LO рассеяние происходит при скрещенных поляризациях возбуждающего и рассеянного света. При вычислении матричного элемента деформационного потенциала электрон-фононного взаимодействия для четных m осцилляции uz в точности взаимоуничтожаются, и рассеяние остается запрещенным. Однако для т=1 взаимного уничтожения не происходит, а для т = 3, 5, . . . оно происходит только частично: интенсивности рассеяния для квантованных мод с т m= 1,3,5, ... должны быть приблизительно пропорциональны 1, 32, 52,...и т.д.
Второй тип взаимодействия, приводящий к рассеянию, является фрёлиховским взаимодействием. В этом случае в объемных материалах электрон-фононное взаимодействие обусловлено дальнодействующим характером кулоновского потенциала. Эффект рассеяния пропорционален разнице обратных масс электрона и дырки и величине дипольного момента фонона rе*. Поскольку сверхрешетки могут считаться кристаллами, указанный тип рассеяния также должен появляться для полярных мод, т.е. для LOm фононов с нечетными т. Эффект должен уменьшаться при увеличении т (~ т–2) и исчезать при рассеянии назад вдоль оси роста в случае больших периодов, поскольку энергетические зоны вдоль z становятся совершенно плоскими (обратные массы вдоль z обращаются в нуль). При рассеянии назад, когда свет распространяется в плоскости структуры (свет падает на край сверхрештки), подобный эффект также должен существовать: рамановский тензор пропорционален разности обратных масс электрона и дырки, которая не исчезает даже в случае большого периода.
Рассеяние для LO мод при четном т возможно, поскольку эти моды принадлежат к полностью симметричному представлению А точечной группы D2d сверхрешетки GaAs/AlAs. Матричный элемент перехода при рассеянии на четных фононах получен из фрёлиховского электрон-фононного взаимодействия, хотя соответствующий потенциал в сверхрешетке не является дальнодействующим: он не равен нулю только внутри монослоя материала одного типа и исчезает вне его из-за осцилляции потенциала. Поскольку рамановский тензор будет содержать два взаимно уничтожающихся члена, включающих матричные элементы из-за зоны проводимости и валентной зоны. Взаимоуничтожение будет точным для бесконечно высоких электронных барьеров. Однако поскольку эти барьеры не бесконечны, некоторое взаимодействие обычно остается.
Рис. 62. Рамановский спектр сверхрешетки (GaAs)16/(AlAs)16 для скрещенных поляризаций при возбуждении аргоновым лазером с λ=514.5 нм. На вставке черные кружки соответствуют частотам этих мод в зависимости от волнового вектора kт. Сплошной кривой показана дисперсия LO фононов объемного GaAs. Светлые кружки относятся к данным, полученным при параллельных поляризациях.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что при скрещенных поляризациях должны наблюдаться моды с т = 1, 3, 5, ..., а при параллельных поляризациях — моды c m = 2, 4,.... Проявление нечетных мод иллюстрируется рис. 62 для сверхрешетки (GaAs)16/(AlAs)16.
Следует обратить внимание в спектре на линии, соответствующие фононам с m=1, 3, ..., 11. Их частоты в зависимости от эффективного волнового вектора кт построены на вставке к рисунку, и сравниваются с дисперсионными соотношениями объемного GaAs. Следует отметить, что согласие с экспериментом весьма хорошее. Кружки с двумя самыми большими частотами отвечают квантованным модам LO2 и LO4.