3. Связанные маятники
Наглядным примером из механики, демонстрирующим, что характер распространения волн в периодической системе зависит от частоты, является система связанных математических маятников (рис. 13).
На каждый маятник длины l действует возвращающие силы двух типов: "внешняя" сила, создаваемая силой тяжести, не зависит от относительного смещения соседних маятников; другая сила, возникающая из-за того, что маятники связаны пружинами, зависит только от их взаимного расположения. Если бы не существовало силы тяжести, то такая система была бы подобна одноатомной линейной цепочке, так что дисперсионное соотношение имело бы вид =(4/m)1/2 sin(ka/2).
При включении же в рассмотрение силы тяжести g, к возвращающей силе нужно добавить величину g/l. При этом можно показать, что мода колебания (т.е. тип движения) сохранится, а частота изменится до величины
.
Рис. 13. Модель связанных маятников: а) схематический вид цепочки маятников; б) дисперсионная зависимость (k) для системы связанных маятников: область возможных частот от 2min=g/l до 2max=g/l+4/m– область синусоидальных волн; в), г) – области затухания: в) область высоких частот max – экспоненциально-затухающие волны при колебаниях соседних маятников в противофазе; г) – область ниже низкочастотного порога – экспоненциально-затухающие волны; д) – график амплитуд колебаний маятников для области частот ниже низкочастотного порога – колебания соседних маятников происходят в фазе (см. рис. а).
В предельном случае непрерывной системы (ka<<1) имеем
.
Этот закон дисперсии описывает дисперсию электромагнитных волн в волноводах и в иносфере Земли.
Электромагнитные волны в атмосфере
В вакууме электромагнитные волны дисперсии не имеют, поскольку частота волны связана с волновым вектором линейно: =ck, где c скорость света. В ионосфере, где высока концентрация заряженных частиц – ионов и электронов, существует собственная частота колебаний плазмы – это частота самой низкой моды колебаний свободных электронов. Плазменную частоту p легко получить из уравнения движения – флюктуации концентрации электронов N быстро компенсируются из-за появления электрического поля E в результате перераспределения зарядов в среде: E=4=4Nex. Здесь е – заряд, а x – смещение электрона. Уравнение движения электронов в этом поле приводит к следующему результату:
.
Для дневного времени типичное значение p=10–30MHz, что соответствует плотности электронов N106–107см–3. Поскольку в общем случае для электромагнитного поля /k=c/1/2, то для среды с одним резонансом на частоте о:
.
Свободный электрон имеет как бы "нулевую" резонансную частоту o=0. Поэтому
или
.
Здесь чисто мнимая величина, т.е. волны таких частот затухают в дисперсивной среде. Дисперсионная зависимость такого типа показана на рис. 14. Очевидно, что для частот выше p=10–30MHz ионосфера дисперсивна, т.е. прозрачна.
Рис. 14. Дисперсионная зависимость (k) электромагнитных волн в атмосфере происхождение которой связано с наличием электрических зарядов в ионосфере существованию колебаний зарядов на так называемой плазменной частоте р. Ниже этой частоты существует область затухания электромагнитных волн – реактивная область; выше этой частоты – дисперсивная область частот. Плазменная частота зависит от времени суток и равна 10–30 MHz.
Это типичные частоты TV передатчиков и радиостанций FM (УКВ). Очевидно, ионосфера дисперсивна и для частот видимого света ( 1014Hz). В то же время для широковещательных радиостанций AM (частоты 103 kHz) ионосфера ведет себя как реактивная среда. Электромагнитные волны экспоненциально затухают в ней (но не поглощаются) и отражаются от ионосферы снова к Земле. Это и создает возможность передачи длинных радиоволн на большие расстояния.