- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
Характер решений в предельном случае бесконечно длинных волн, т.е. при k = 0 можно получить из рассмотрения дисперсионного уравнения:
,
Ясно, что амплитуды Al(k) получаемых решений вещественны (возможно с точностью до постоянного комплексного множителя), когда коэффициенты D(k,l,p) однородной системы уравнений для амплитуд вещественны. Но для k=0 и kai= множитель exp[ik(rm–rn)] в выражении для D равен 1, и тогда D вещественно, и для предельно длинных и предельно коротких волн амплитуды вещественны. Другой важный случай, когда смещения вещественны, соответствует ситуации, в которой каждый атом решетки является центром инверсии, т.е. когда каждой паре атомов nl и m′p′ может быть сопоставлен атом m′′p′ такой, что rm′p′–rnl=-(rm′′p′–rnl). В этом случае энергия взаимодействия этих атомов одинакова Ф(m′–n,l,p′)=Ф(m′′–n,l,p′), и в выражении для D суммирование можно разбить на два полупространства:
,
В этом случае амплитуды Al вещественны и, следовательно, характеризуют реальные отклонения атомов от положения равновесия.
Строгое рассмотрение хода решений j(k) при k=0 представляет некоторые трудности из-за неаналитичности решений при k=0. Однако, для некоторых ветвей ход зависимостей можно легко понять, ограничившись рядом простых и наглядных соображений. Положим в уравнении для амплитуд
,
величину волнового вектора и частоту, равной нулю: k=0 и =0. Тогда
или
и имеется решение Ap(0)=A(0), для которого вещественные амплитуды одинаковы для всех атомов с номером p, поскольку тогда выполняется:
.
Это является следствием свойств потенциальной энергии кристалла, поскольку сумма
автоматически равна нулю из-за инвариантности потенциальной энергии кристалла относительно произвольных смещений вдоль трех ортогональных осей x,y,z, т.е. для =x,у,z. Поэтому есть три ветви, для которых при k=0 частота ω=0. Эти три ветви называются акустическими ветвями.
Решения для остальных ветвей в принципе ясны из одномерного случая, но осуществить решение для трехмерного случая не так просто. С другой стороны, именно для трехмерного случая есть смысл делать расчеты, чтобы сопоставить их с экспериментом. Вообще говоря, при решении подобных задач нельзя ограничиться взаимодействием только с ближайшими соседями. Например, для ионных кристаллов потенциал взаимодействия спадает с расстоянием очень медленно, как 1/r. В ряде случаев важен учет деформации ионов при колебаниях. Это особенно важно учитывать в гомополярных кристаллах, поскольку колебания атомов могут деформировать электронную плотность на ковалентных связях. Тем не менее, с появлением доступной мощной вычислительной техники в последние годы появилось много расчетных программ для решения подобных задач. Необходимо отметить, что решение дисперсионного уравнения нет необходимости проводить для всех различных значений волнового вектора k в зоне Бриллюэна. Поскольку зона Бриллюэна обладает симметрией прямой решетки и еще центром инверсии, можно найти так называемый неприводимый элемент зоны, который при применении различных операций симметрии позволяет получить всю зону. Для кубической решетки таким неприводимым элементом зоны является 1/48 часть первой зоны Бриллюэна.
Решение колебательной задачи в виде плоской волны uln=Alexp[i(t–krn)], где частота может принимать N значений в 3s ветвях j(k), указывает, что каждый атом совершает ряд движений с разными частотами. Как и в случае молекулы, можно найти систему координат, в которой и кинетическая и потенциальная энергия системы принимает квадратичную форму, а смещения частиц описываются нормальными координатами. Оставляя вопрос о нахождении такого преобразования до следующего параграфа, заметим, что совокупности смещений, образующие нормальные координаты, должны преобразовываться по неприводимым представлениям каких-либо точечных групп. Для k=0 (центр зоны Бриллюэна, точка Г), эта группа – фактор-группа кристалла, изоморфная точечной группе симметрии кристалла. Для остальных точек зоны Бриллюэна точечная группа, по неприводимым представлениям которой преобразуются нормальные координаты с k0, определяется симметрией соответствующей точки зоны Бриллюэна. Например, в кубической решетке точки Г обладает голоэдрической симметрией решетки Браве m3m, точка X – симметрией 4/mmm, точка L – 3m и т.д.