- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
8.3. Модель диэлектрического континуума
Для полярных колебаний кристаллов, при которых возникает поляризация среды P и продольное электрическое поле E, уравнения для колебаний нанокристалла можно получить, используя классическую макроскопическую модель с учетом уравнений Максвелла. Такая модель рассматривалась в работе Клейна и была применена для полупроводниковых нанокристаллов CdSe сферической формы. Смысл такой модели понятен из рис. 82. Рассмотрим полупроводниковую сферу радиуса R с диэлектрической постоянной ε, окруженную веществом с диэлектрической проницаемостью εd.
Рис. 82. Схематическое изображение локализованного фонона и граничных условий для смещений u(r) и потенциала ф(r) в модели диэлектрического континуума .
Используем следующие уравнения:
,
где D, E, P, и φ соответственно электрическое смещение, электрическое поле, поляризация и потенциал. Из этих уравнений получаем:
Существуют два типа решений этого уравнения. Первое соответствует ε=0. Для диэлектрической проницаемости можно написать выражение:
,
где ε∞ диэлектрическая постоянная при высоких частотах, LO и TO – собственные частоты, удовлетворяющие соотношению Лиддейна-Сакса-Теллера:
,
где ε0 – стационарная диэлектрическая постоянная. Случай, когда ε=0 соответствует LO модам собственной частоты LO. Собственные функции могущт быть разложены по ортонормированному базису , где используются сферические координаты. Здесь сферические функции Бесселя порядка l, – сферические гармоники. Таким образом:
.
Обратное преобразование имеет вид:
Граничными условиями будут непрерывность φ и нормальной компоненты вектора D на границе раздела, т.е. для LO фононов φ будет уменьшаться до нуля на границе раздела, и вне сферы будет равняться нулю. Возможные решения отвечают таким k, для которых при любых l,m выполнено равенство
Jl(k,R)=0.
Эти k зависят от l и определяются соотношениями
k=an,l /R,
где an,l – n-ый нуль сферической функции Бесселя порядка l. Используя выражение Jl(k,R)=0, получаем выражение для константы Bk
При l=0 она будет равна
,
где k=nπ /R (n=1,2,3…).
Это рассмотрение в силу нулевых смещений на границе соответствуют случаю механического конфаймента. Решение уравнения εφ=0, соответствующее = 0, является наиболее общим описанием механического конфайнмента, где используется разложение потенциала по сферическим гармоникам и нулевые смещения на интерфейсе.
Однако существует и другое решение уравнения εφ=0, отвечающее условию =0. Оно возникает в приближении диэлектрического континуума только для полярных мод, которые вызывают появление макроскопического поля. Данное уравнение дает поверхностные SO (или интерфейсные IF) моды. Возможные решения имеют вид:
Граничные условия, вытекающие из равенства нормальных составляющих электрического смещения D в двух средах, приводят к соотношению ε grad (φ) = const, и имеют вид:
.
Дискретные частоты SO мод в приближении диэлектрического континуума для кристалла CdSe с использованием известных значений d, ∞, LO, TO приведены в табл. 9.
Рис. 83. Схематическое построение контура линии фундаментального колебания нанокристаллов CdSe с использованием модели диэлектрического конфайнмента.
Таблица 9.
Частоты поверхностных (интерфейсных) мод в нанокристаллах CdSe в стеклянной матрице в см–1.
|
2.25 |
|
6.1 |
|
210 |
|
170 |
|
194 |
|
197 |
|
200 |
Из таблицы видно, что с изменением l (l=1,2,3…) значения собственных частот SO мод пробегают интервал от 194 до 200 см–1.
Значения интерфейсных мод также можно получить, рассматривая, как и сверхрешетке среднюю диэлектрическую проницаемость среды, представляющей нанокросталлы полупроводника в стеклянной матрице. Выражение для диэлектрической проницаемости такой структуры легко получить, используя уравнения Рытова для слоевой среды, которые описывают полярные колебания гетероструктуры в приближении диэлектрического континуума. Для бесконечной среды, состоящей из чередующихся слоев толщины d1 и d2 с диэлектрической проницаемостью 1 и 2, решения этих уравнений приводит к следующим выражениям. Эффективная усредненная диэлектрическая постоянная в плоскости слоев x,y и в направлении, перпендикулярном слоям z, равна:
x,y=d–1(d11+d22)
z=d12(d12+d21)–1,
где d=d1+d2.
Для среды, состоящей из сферических нанокристаллов в стекловидной матрице, средняя диэлектрическая проницаемость равна:
,
где 0 ,1 – диэлектрические проницаемости матрицы и кристалла, а d0, d1 – расстояние между кристаллическими включениями и их размер соответственно. Случай, когда диэлектрическая проницаемость среды равна нулю, возможен при равенстве нулю диэлектрических проницаемостей ε0 или 1 т. е. соответствует LO модам квантовых точек, так как LO моды матрицы в данной области частот отсутствуют. Диэлектрическая проницаемость равна бесконечности при выполнении условия
,
что отвечает TO модам, положение которых зависит от d1/d0.