6.2.2. Розв‘язок слар по формулі Крамера

Нехай задана система лінійних рівнянь

Запишемо формули знаходження коренів рівнянь цієї системи за формулою Крамера:

Визначник відмінний від нуля. Система має один розв’язок.

Знак  можна знайти в панелі грецького алфавіту Greek.

6.2.3.Чисельний розв’язок рівнянь

Для чисельного пошуку коріння рівняння в програмі Mathcad використовується функція root. Вона призначена для розв’язку рівнянь виду f(x)= 0. Для пошуку коріння за допомогою функції root потрібно присвоїти шуканій змінній початкове значення, починаючи з якого буде шукатись корінь, а потім обчислити його за допомогою функції root(f(x), x). Функція root повертає значення незалежної змінної, що обертає функцію f(x) в 0. Наприклад:

x:=1 root(2sin(x) – x, x) = 1.895

Якщо необхідно знайти корінь деякого рівняння, причому відомий інтервал, в якому він знаходиться, можна використати функцію root з чотирма аргументами: root(f(x),x,a,b), де f(x) — функція, що визначає рівняння, х — змінна, а і b — границі інтервалу. Обов'язковою умовою є те, що значення функції на кінцях інтервалу повинні бути протилежних знаків. Це пов'язано з особливістю використовуваних root алгоритмів.

Також для знаходження чисельного рішення може бути використаний блок рішення з чисельним оператором "=":

Розглянемо приклад чисельного розв‘язку нелінійних рівнянь:

Завдання: визначити значення кореня рівняння x+lg(x)+ln(x/10) = 11.1 з точністю 10^-5, якщо відомо, що х  [10;11].

Методика виконання роботи

Багато рівнянь не мають аналітичних рішень. Вони можуть розв’язуватись чисельними методами із заданою похибкою. Для простих рівнянь виду F(x) = 0 розв’язок знаходиться за допомогою функції root(Вираз, Імя_змінної). Функція root повертає значення змінної, при якому вираз стає рівним нулю, тобто F(x)= 0.

Для розв’язку рівняння потрібно спочатку задати початкове значення змінної. Задана функція має декілька коренів, тому вибір розв’язку визначається початковим значенням змінної.

Введемо умовні позначення:

f(x) — функція, що прирівнюється до 0;

TOL — точність обчислення;

х — початкове значення змінної;

x1 — наближений корень функції f(х).

1. Виведіть на екран панелі інструментів, необхідні для роботи: Math і Calculate.

2. Запишіть задану функцію і умови:

• f(x): = х + log(x, 10)+ ln(x/10) -11.1;

• у робочій області екрану введіть точність TOL: = 10^-5 і початкове значення змінної х:=10

3. Розв’язок нелінійного рівняння за допомогою функції root

У робочій області екрану наберіть xl: = root(f(x), x). Натисніть <Enter>.

4. Виведення на екран значення xl:

• наберіть х1 = <Enter>. На екрані з'явиться наближене значення xl. За умовчанням кількість знаків після коми дорівнює 3;

• при необхідності зменіть точність результату за допомогою команди верхнього меню Format->Number->Displayed Precision.

6.3 Обчислення похідної

6.3.1. Інструменти знаходження похідних в Matchcad

У Mathcad існує чисельне і символьне диференціювання. На відміну від символьного інтегрування або розв’язку рівнянь, аналітично можна прорахувати похідну будь-якої функції. Оператор першої похідної (Derivative) розташований на панелі Calculus (Обчислення) і, може бути також введений поєднанням клавіш Shift+«/».

Оператор першої похідної має два маркери, принцип заповнення яких абсолютно очевидний: у верхній вводиться функція, в нижний — змінна, по якій проводиться диференціювання.

Коли оператор буде заповнений, слід вирішити, в якій формі необхідно отримати відповідь. Якщо в результаті диференціювання повинна бути отримана функція похідної, слід звернутися до можливостей символьного процесора. Для цього як оператор виводу слід використовувати оператор символьного виводу «».

При символьному диференціюванні можна оперувати функціями декількох змінних і функціями з параметрами. Також оператор диференціювання може поєднуватися з будь-яким обчислювальним або символьним оператором. Особливо корисний оператор simplify, для спрощення отриманого результату. Також можуть бути корисними оператори collect (зводить подібні доданки), factor (розкладає вираз на множники) і expand (розкриває дужки).