4.3. Розв’язання рівнянь засобами програми Excel

Завдання. Знайти розв’язок рівняння x³ – 3x² + x = -1.

1. Запустіть програму Excel (Пуск • Программы • Microsoft Excel) і відкрийте робочу книгу.

2. Створіть новий робочий лист (Вставка • Лист), двічі натисніть на його ярличку і привласніть йому ім'я Рівняння.

3. Занесіть в комірку А1 значення 0.

4. Занесіть в комірку В1 ліву частину рівняння, використовуючи як незалежну змінну посилання на комірку А1. Відповідна формула може, наприклад, мати вигляд =A1^3-3*А1^2+A1.

5. Виберіть команду Сервис • Подбор параметра.

6. У полі Установить в ячейке вкажіть В1, в полі Значение задайте - 1, в полі Изменяя значение ячейки вкажіть А1.

7. Натисніть на кнопці ОК і подивиться на результат підбору, Результат подбора параметра, що відображається в діалоговому вікні. Натисніть на кнопці ОК, щоб зберегти набутих значень комірок, що брали участь в операції.

8. Повторить розрахунок, задаючи в комірці A1 інші початкові значення, наприклад 0,5 або 2.

9. Збережіть робочу книгу book.xls.

4.4. Розв‘язок завдань оптимізації за допомогою пакету пошуку рішень

Надбудова "Пошук рішення" використовується, коли потрібно знайти якнайкращий спосіб зробити щось. Або, кажучи формальною мовою, коли потрібно знайти значення певних елементів електронної таблиці, які оптимізують (максимізують або мінімізують) певну мету.

Модель оптимізації складається з трьох частин: цільовий комірки, комірки, що змінюються, і обмеження.

• Цільова комірка є метою. Наприклад, забезпечення максимального щомісячного прибутку.

• Змінні комірки – це елементи електронної таблиці, які можна змінювати або настроювати, щоб оптимізувати цільову комірку. Наприклад, кількість кожного з продуктів, виробленого протягом місяця.

• Обмеження, встановлені для змінні комірок. Наприклад, можна використовувати тільки доступні ресурси і не можна виробляти більше продукту, ніж може бути продано.

Розберемо наступний приклад проблеми номенклатури продуктів.

Рисунок 4.4. Приклад номенклатури продуктів

Нехай на заводі фармацевтичної компанії можна виробляти шість продуктів. Для виробництва кожного продукту необхідні початкові матеріали і трудові ресурси. У рядку 4 рис.4.4 приведена кількість людино-годин, необхідна для виробництва кілограма кожного продукту, а рядок 5 містить кількість кілограмів початкового продукту, необхідну для виробництва кілограма кожного продукту. Наприклад, виробництво кілограма продукту 1 вимагає 6 людино-годин і 3,2 кілограма початкового матеріалу.

• Ціна кілограма кожних ліків приведена в рядку 6, вартість кілограма приведена в рядку 7, а прибуток на кілограм – в рядку 9. Наприклад, продукт 2 коштує 11,00 крб. за кілограм, включаючи вартість 5,70 крб. за кілограм, і прибуток 5,30 крб. за кілограм.

• Місячний попит на кожні ліки приведений в рядку 8. Наприклад, для продукту 3 попит складає 1041 кілограм.

На протязі місяця доступні 4500 людино-годин і 1600 кілограм початкового матеріалу. Як може компанія отримати максимальний прибуток?

Якби ми нічого не знали про надбудову "Пошук рішення", ми вирішували б проблему, створюючи електронну таблицю, в якій ми б стежили за прибутком для кожної номенклатури продуктів і за відповідним використанням ресурсів. Потім за допомогою проб і помилок ми б міняли номенклатуру продуктів, щоб оптимізувати прибуток без перевищення значень доступних трудових ресурсів і початкових матеріалів і без перевищення попиту на кожне з ліків. У цьому процесі ми використовуємо надбудову "Пошук рішення" тільки на стадії проб і помилок. По суті, надбудова "Пошук рішення" – це механізм оптимізації, який бездоганно виконує пошук методом проб і помилок.

Ключем до вирішення проблеми є ефективне обчислення використовуваних ресурсів і прибутку, пов'язаних з кожною заданою номенклатурою продуктів. Важливим засобом, який можна використовувати для цих розрахунків, є функція СУММПРОИЗВ. Ця функція перемножує відповідні значення діапазону комірок і повертає суму цих значень. Розмірності всіх діапазонів значень, використовуваних при розрахунку СУММПРОЇЗВ, мають бути однакові, тобто, можна використовувати функцію СУММПРОИЗВ з двома рядками або двома стовпцями, але не з рядком і стовпцем.

Як приклад використання функції СУММПРОИЗВ при визначенні номенклатури продуктів спробуємо обчислити використання ресурсів. Трудові ресурси задаються наступною формулою:

(Трудовитрати для виробництва кілограма ліків 1) *

(Кількість кілограмів ліків 1) +

(Трудовитрати для виробництва кілограма ліків 2) *

(Кількість кілограмів лекарства2) +

...

(Трудовитрати для виробництва кілограма ліків 6) *

(Кількість кілограмів ліків 6)

У нашій електронній таблиці ми могли б обчислити використовувані трудові ресурси як D2*D4+E2*E4+F2*F4+G2*G4+H2*H4+I2*I4. Аналогічно, використовувані початкові матеріали можуть бути обчислені як D2*D5+E2*E5+F2*F5+G2*G5+H2*H5+I2*I5. Введення цих формул в електронній таблиці для шести продуктів займе немало часу. Набагато простіше розрахувати використовувані трудові ресурси і початкові матеріали, скопіювавши формулу з D14 в D15:

СУММПРОИЗВ($D$2:$I$2,D4:I4)

Ця формула обчислює D2*D4+E2*E4+F2*F4+G2*G4+H2*H4+I2*I4 (наші використовувані трудовитрати) і її набагато простіше вводити.

Зверніть увагу, що в діапазоні D2:I2 використовується знак $, тому при копіюванні формули номенклатура продуктів з рядка 2 зберігається. Формула в комірку D15 обчислює використовувані початкові матеріали. Аналогічним чином, наш прибуток визначається наступною формулою:

(Прибуток на кілограм ліків 1) *

(Проведені кілограми ліків 1) +

(Прибуток на кілограм ліків 2) *

(Проведені кілограми ліків 2) +

...

(Прибуток на кілограм ліків 6) *

(Проведені кілограми ліків 6).

Прибуток легко обчислюється в комірці D12 за допомогою наступної формули:

СУММПРОЇЗВ(D9:I9,$D$2:$I$2|)

Тепер можна визначити три частини нашої моделі номенклатури продуктів для надбудови "Пошук рішення":

Цільова комірка	Змінні комірки	Обмеження
Наша мета – забезпечити максимальний прибуток (обчислюваний в комірці D12).	Кількість проведених кілограмів кожного продукту (перераховано в діапазоні осередків D2:I2).	Не використовувати трудових ресурсів і початкових матеріалів більше, ніж доступно. Тобто, значення в комірку D14:D15 (використовувані ресурси) мають бути менше або дорівнюють значенням комірки F14:F15| (доступні ресурси). Не проводити ліків більше, ніж попит на нього. Тобто, значення в комірках D2:I2 (проведені кілограми кожних ліків) мають бути менше або дорівнюють попиту на кожні ліки (перерахованому в комірках D8:I8). Не можна проводити негативну кількість жодних ліків.

Задамо спочатку цільову комірку, змінні комірки і обмеження для надбудови "Пошук рішення". Для цього виберіть команду «Пошук рішення» в меню Сервіс.

З'явиться діалогове вікно Параметри пошуку рішення.

1. Щоб задати цільову комірку, перейдіть у поле Встановити цільовий комірку і виберіть наш осередок прибули (осередок D12). Щоб задати змінні осередки, натисніть в полі Змінюючи комірку, а потім вкажіть на діапазон D2:I2, що містить кількості проведених ліків в кілограмах. Тепер діалогове вікно матиме вигляд як на наступному рисунку.

2. Далі додамо в модель обмеження. Натисніть кнопку Добавить. З'явиться діалогове вікно Добавить ограничения.

3. Щоб додати обмеження на використовувані ресурси, натисніть поле, помічене Посилання на комірку, а потім виберіть діапазон D14:D15. Виберіть <= в списку в середині діалогового вікна. Натисніть поле, помічене Обмеження, а потім виберіть діапазон комірок F14:F15.

Тепер гарантується, що при перевірці різних значень для змінних комірок "Пошук рішення" розглядатиме тільки ті комбінації, які задовольняють обом умовам: D14 <= F14 (використовувані трудові ресурси менше або рівні доступним) і D15 <= F15 (використовувані початкові матеріали менше або дорівнюють доступним початковим матеріалам).

5. Щоб ввести обмеження на попит, натисніть кнопку Додати в діалоговому вікні Додати обмеження. Просто заповните поля діалогового вікна Додати обмеження, як показано на наступному малюнку.

Додавання цих обмежень забезпечує, що при перевірці різних поєднань для значень змінних комірок "Пошук рішення" розглядатиме тільки комбінації, що задовольняють наступним умовам:

• D2 <= D8 (проведена кількість ліків 1 менше або дорівнює попиту на ліки 1)

• E2 <= E8 (проведена кількість ліків 2 менше або дорівнює попиту на ліки 2)

• F2 <= F8 (проведена кількість ліків 3 менше або дорівнює попиту на ліки 3)

• G2<= G8 (проведена кількість ліків 4 менше або дорівнює попиту на ліки 4)

• H2 <= H8 (проведена кількість ліків 5 менше або дорівнює попиту на ліки 5)

• I2 <= I8 (проведена кількість ліків 6 менше або дорівнює попиту на ліки 6).

6. Натисніть кнопку OK в діалоговому вікні Додати обмеження. Діалогове вікно Параметри пошуку рішення повинно мати вигляд, як на наступному малюнку.

7. У діалоговому вікні Параметри пошуку рішення, що відкривається натисненням кнопки Параметри в діалоговому вікні Параметри пошуку рішення, введемо обмеження, що всі змінні комірки – невід'ємні.

Виберіть параметри Лінійна модель і Значення не невід'ємні, а потім натисніть кнопку "OK".

Вибір параметра Значення не невід'ємні гарантує, що надбудова "Пошук рішення" розглядатиме тільки такі комбінації змінних осередків, в яких значення кожного змінного осередку буде ненегативним.

Ми вибрали Лінійна модель, оскільки проблема номенклатури продуктів – це спеціальний тип проблеми пошуку рішень, званий лінійною моделлю. По суті, модель пошуку рішень є лінійною за наступних умов:

• Цільова комірка обчислюється шляхом складання членів форми (змінна комірка)*(константа).

• Всі обмеження задовольняють вимогам лінійної моделі. Це означає, що кожне обмеження оцінюється шляхом складання членів форми (змінна комірка)*(константа) і порівняння цих сум з константою.

Чому ця проблема пошуку рішення лінійна? Обмеження на трудові ресурси оцінюється шляхом складання членів форми (змінна комірка)*(константа) і порівняння цих сум з константою. Обидва обмеження, на трудові ресурси і на початкові матеріали, задовольняють вимогам лінійної моделі. Також всі обмеження на попит задовольняють вимогам лінійної моделі, оскільки кожне з них оцінюється шляхом складання членів форми (змінна комірка)*(константа) і порівняння цих сум з константою.

• Якщо модель пошуку рішення лінійна, і вибраний параметр Лінійна модель, то надбудова "Пошук рішення" гарантовано знайде оптимальне рішення для відповідної моделі. Якщо модель пошуку рішення не є лінійною, надбудова "Пошук рішення" може знайти оптимальне рішення, а може і не знайти.

• Якщо модель пошуку рішення лінійна, і вибраний параметр Лінійна модель, надбудова "Пошук рішення" використовує симплексний метод, щоб знайти оптимальне рішення для моделі. Якщо модель пошуку рішення лінійна, але параметр Лінійна модель не вибраний, надбудова "Пошук рішення" використовує неефективний алгоритм і може зазнавати труднощі при пошуку оптимального розв’язку моделі.

8. Натиснувши кнопку OK в діалоговому вікні Параметри пошуку рішення, ми повертаємося в основне діалогове вікно Пошук рішення. Після натиснення кнопки Виконати надбудова "Пошук рішення" обчислює оптимальне рішення (якщо воно існує) для нашої моделі номенклатури продуктів.

Оптимальне рішення для моделі номенклатури продуктів є набором значень змінних комірок (кількість проведених кілограмів кожного продукту), який забезпечує прибуток, максимальний з набору всіх відповідних рішень. І знову, під терміном відповідне рішення розуміється набір значень змінних комірок, що задовольняє всім обмеженням. Значення змінних комірок, показані на рис. 5, – це відповідне рішення, оскільки всі рівні виробництва невід'ємні, жоден з рівнів виробництва не перевищує попит, і використовувані ресурси не перевищують доступні ресурси.

Рисунок 4.5. Відповідне розв'язання проблеми номенклатури продуктів, що враховує обмеження.

Значення змінних осередків, приведені на рис. 4.6, є неприпустимим рішенням по наступних причинах:

• Рівень виробництва ліків 5 перевищує попит.

• Використовувані трудові ресурси перевищують доступні.

• Використовувані початкові матеріали перевищують доступні.

Рисунок 4.6. Неприпустиме розв'язання проблеми номенклатури продуктів не задовольняє заданим обмеженням.

Після натиснення кнопки Виконати надбудова "Пошук рішення" швидко знаходить оптимальне рішення, показане на рис. 4.7. Щоб зберегти значення оптимального рішення в електронній таблиці, необхідно натиснути кнопку Зберегти знайдене рішення.

Рисунок 4.7. Оптимальне розв'язання проблеми номенклатури продуктів.

Задана фармацевтична компанія може забезпечити щомісячний максимальний прибуток на рівні 6625,20, виробляючі 596,67 кілограмів ліків 4-го типу, 1084 кілограмів ліків 5-го типу, і не проводячи ніяких інших ліків! Ми не знаємо чи можна добитися максимального прибутку 6625,20 іншими способами. Можна гарантувати тільки, що з нашими обмеженнями з боку попиту і ресурсів не існує способу отримати щомісячний прибуток, що перевищує 6625,20.