5.4. Мода і медіана

Поряд із середньою арифметичною до характеристик центра розподілу належать також особливі середні — мода і медіана. Іноді їх називають порядковими середніми. Але на відміну від абстрактного середнього значення вони є конкретними середніми, які в упорядкованій сукупності правових явищ посідають певне середнє місце. В одних і тих самих сукупностях мода і медіана можуть збігатися, а частіше вони не збігаються.

Модою М₀ називається значення правової ознаки, яке найчастіше повторюється в упорядкованій сукупності правових явищ.

Визначення моди залежить від виду варіаційного ряду розподілу. У дискретному ряду модою є варіанта, якій відповідає найбільша частота або частка. Наприклад, у розподілі кримінальних справ за кількістю обвинувачених (табл. 5.3) модою буде 2 обвинувачених, бо в найбільшій кількості кримінальних справ (150) проходила саме така кількість обвинувачених.

Таблиця 5.3

Розподіл кримінальних справ за кількістю обвинувачених

Кількість обвинувачених	Кількість кримінальних справ	Кумулятивна кількість кримінальних справ
1 2 3 4 5	120 150 100 80 50	120 270 370 450 500
Разом	500	

На практиці трапляються розподіли, де кожне значення ознаки зустрічається приблизно однакову кількість разів, тоді визначення моди втрачає сенс.

Існують також розподіли, де модальних значень може бути кілька. Це так звані бімодальні розподіли, що є свідченням можливої якісної неоднорідності сукупності правових явищ.

Моду застосовують для визначення найпоширенішого значення правової ознаки.

Для визначення моди в інтервальному ряду розподілу насамперед установлюють модальний інтервал, тобто інтервал, який об’єднує найбільшу кількість правових явищ. А конкретне значення моди обчислюють наближено за формулою:

,

де — нижня межа модального інтервалу; h — ширина модального інтервалу; — частота модального інтервалу; — частота відповідно попереднього і наступного інтервалів відносно модального.

Наприклад, визначимо моду за даними табл. 5.4.

Таблиця 5.4

8. Розподіл засуджених за хуліганство за віком

Вік, років	Кількість засуджених	Кумулятивна кількість засуджених
До 20 20—25 25—30 30—35 35—40 40—45 45—50	120 220 180 90 40 30 20	120 340 520 610 650 680 700
Разом	700	

У розподілі модальним є інтервал 20—25 років, оскільки об’єднує найбільше (220) засуджених. Підставимо числові значення за цим інтервалом у формулу: року. За наведеною формулою мода визначається лише в інтервальних рядах розподілу з рівними інтервалами.

Медіана М_е — це значення правової ознаки, яке поділяє упорядковану сукупність правових явищ на дві рівні частини. Якщо 7 підозрюваних у скоєнні злочинів розмістити в порядку зростання їх віку, то вік 4-го підозрюваного і буде медіанним. Тобто за непарної кількості варіантів центральна з них і буде медіаною. Якщо додати ще одного підозрюваного з віком більшим, ніж у сьомого, то в середині цієї сукупності буде вік 4-ї та 5-ї особи. Отже, коли кількість варіантів парна, медіана обчислюється як середня арифметична двох центральних значень. Медіана характеризує кількісну межу правової ознаки, яка притаманна половині елементів сукупності. Наприклад, медіанне значення віку ув’язнених жінок становить 34 роки. Це означає, що половина ув’язнених жінок має вік менший за 34 роки, а друга — більший за 34 роки.

Якщо для незгрупованих даних номер середини певної сукупності правових явищ очевидний, то в рядах розподілу передусім визначається порядковий номер медіани за формулами:

— коли кількість елементів сукупності непарна;

— коли кількість елементів сукупності парна.

Потім визначаються кумулятивні частоти або частки (наростаючий підсумок частот з першої групи по останню). У дискретному ряду розподілу медіаною буде значення правової ознаки, кумулятивна частота або частка якого перевищує порядковий номер середини сукупності правових явищ. Наприклад, за даними табл. 5.3, кількість кримінальних справ (n = 500) парна, тому номери середини становитимуть: і . Ці порядкові номери входять до кумулятивної частоти 270, якій відповідає 2 обвинувачених, а отже, .

В інтервальному ряду розподілу в такий спосіб визначається медіанний інтервал, а значення медіани в середині інтервалу обчислюється наближено за формулою:

,

де — нижня межа медіанного інтервалу; — ширина та частота медіанного інтервалу; — кумулятивна частота попереднього інтервалу відносно медіанного.

Визначимо медіану в ряду розподілу засуджених за хуліганство за віком (табл. 5.4). У середині цієї сукупності засуджених знаходиться 350 (700 : 2) та 351 ((700 : 2) + 1) особа. Щоб установити, до якого інтервалу за віком вони належать, обчислимо кумулятивні частоти, які показують, що 350 і 351 засуджений входять до третього інтервалу: 25—30 років.

Отже, медіанний вік засуджених становить:

року, тобто половина засуджених за хуліганство віком до 25,3 року, а друга половина старші за 25,3 року.

За наведеною формулою медіана обчислюється для будь-яко­го ряду розподілу з рівними або нерівними інтервалами.

На практиці мода і медіана мають як самостійне значення, так і доповнюють середню арифметичну. Як доповнення до середньої арифметичної більшу перевагу має медіана, яка не залежить ні від крайніх, ні від характерних для сукупності значень правової ознаки. В упорядкованій сукупності правових явищ медіана може замінити наближене значення середньої ве- личини.