Глава 4. Механические колебания § 10. Гармонические колебания

Пусть частица массой движется под действием упругой силы

(10.1)

где — положительная постоянная; и — координата и орт оси .

Согласно основному уравнению динамики частицы,

или в проекциях на ось

(10.2)

Учитывая, что перепишем выражение (10.2) в виде дифференциального уравнения

или

(10.3)

где

Решение уравнения (10.3) дает закон движения частицы

(10.4)

называемый гармоническими колебаниями частицы.

Положительную постоянную называют амплитудой колебаний частицы. Она равна максимальному значению координаты частицы . Постоянную ω называют круговой частотой колебаний частицы. Она равна числу колебаний частицы за время, равное 2π, с. Переменную величину называют фазой колебаний частицы, откуда следует, что постоянная α является фазой колебаний в момент и поэтому носит название начальной фазы колебаний частицы

Графически функция (10.4) имеет следующий вид (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Из графика видно, что частица при движении периодически пересекает точку , называемую положением равновесия частицы (при ). Кроме того, видно, что через определенный промежуток времени Т значения координаты частицы повторяются. Промежуток времени Т называют периодом колебаний частицы. Можно сказать, что период колебаний — это промежуток времени, за который частица совершает одно колебание.

Назовем частотой ν колебаний частицы число колебаний за 1 с. Очевидно,

(10.5)

Единицей измерения частоты является герц (Гц), который равен одному колебанию частицы за 1 с.

Очевидно,

(10.6)

Пример 10.1. Частица массой совершает гармонические колебания вдоль оси с частотой Амплитуда колебаний частицы Определить модуль максимальной силы, действующей на частицу.

Дано:	Решение

Ответ:

§ 11. Затухающие колебания

Если частица движется в вязкой среде, то кроме силы упругости на нее действует сила сопротивления среды

(11.1)

где — положительная постоянная; — скорость частицы.

Согласно основному уравнению динамики частиц,

или в проекциях на ось

(11.2)

Учитывая, что перепишем выражение (11.2) в виде дифференциального уравнения

или

(11.3)

Решение уравнения (11.3) дает закон движения частицы

(11.4)

где

Из выражения (11.4) видно, что амплитуда колебаний частицы не является постоянной величиной, уменьшается со временем по экспоненциальному закону

(11.5)

где — положительная постоянная, являющаяся амплитудой колебаний в момент , поэтому носит название начальной амплитуды колебаний частицы (рис. 11.1)

Рис. 11.1

Следовательно, колебанияе частицы в вязкой среде не являются гармоническими. Их называют затухающими колебаниями частицы.

Положительные постоянные β и ω называют соответственно коэффициентом затухания и круговой частотой колебаний частицы. Постоянная величина является круговой частотой колебаний при отсутствии силы сопротивления (при ). Ее называют собственной частотой колебаний частицы.

Быстроту убывания амплитуды колебаний частицы характеризуют величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания

(11.6)

где Т — период колебаний (промежуток времени, за который повторяются нулевые значения координаты частицы). Так как

получаем

(11.7)

Пример 11.1. Закон движения частицы Найти модуль v скорости частицы в момент времени где T — период колебаний частицы.

Дано:	Решение

Ответ:

Пример 11.2. Амплитуда колебаний частицы за время уменьшилась в 2,7 раз. Чему равен коэффициент затухания β?

Дано:	Решение
β –?

Ответ:

Пример 11.3. Амплитуда колебаний частицы уменьшилась в раз за колебаний. Чему равен логарифмический декремент затуханий λ?

Дано:	Решение , где τ — время, в течение которого произошли колебаний частицы
λ –?

Ответ: