§ 46. Закон Джоуля – Ленца

При перемещении заряда dq по проводнику силы электрического поля совершают работу

(46.1)

где — напряжение на концах проводника. Подставив dq из выражения (43.1) в соотношение (46.1), получаем

(46.2)

Величину

(46.3)

назовем мощностью тока, развиваемой в проводнике. С учетом закона Ома (44.1) мощность тока можно записать в виде

(46.4)

где R — сопротивление проводника.

Если проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, работа (46.2) идет на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего проводник нагревается. Можем написать

(46.5)

откуда, интегрируя, получаем

(46.6)

где Q — количество теплоты, выделяемой в проводнике при протекании в нем электрического тока в течение времени (закон Джоуля – Ленца).

Соотношение (46.6) называют законом Джоуля – Ленца в интегральной форме. Найдем дифференциальную форму этого закона.

Рис. 46.1

Для этого выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводника элементарный объем в виде цилиндра высотой dℓ и площадью основания dS с образующими, параллельными плотности тока в этой точке (рис. 46.1). Тогда, согласно выражениям (46.4) и (46.5), в этом объеме за время dt выделится количество теплоты

(46.7)

где — объем цилиндра.

Подставив в выражение (46.3) вместо работы dA количество теплоты dQ, получим тепловую мощность тока

(46.8)

— количество теплоты, выделяемое в проводнике в единицу времени. Назовем удельной тепловой мощностью тока величину

(46.9)

— количество теплоты, выделяемое в единицу времени в единице объема проводника.

С учетом выражение (46.7) и (46.9) можем написать

(46.10)

— удельная тепловая мощность тока в некоторой точке проводника равна произведению удельного сопротивления проводника на квадрат плотности тока в этой точке (закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме).

Комбинируя законы Ома (44.6) и Джоуля – Ленца (46.10), получаем выражение для удельной тепловой мощности тока в виде

(46.11)

Пример 46.1. Сила тока в проводнике сопротивлением нарастает в течение по линейному закону от до . Определить количество теплоты Q, выделившееся в этом проводнике за вторую секунду.

Дано:	Решение . Согласно условию задачи, где коэффициент k определяет скорость возрастания тока
q – ?

Согласно условию задачи,

Ответ:

Глава 13. Магнитное поле в вакууме § 47. Магнитная индукция

Если электрические заряды неподвижны, то взаимодействие между ними носит электростатический характер. На каждый точечный заряд q действует электрическая сила

(47.1)

Если электрические заряды движутся, то взаимодействие между ними носит электромагнитный характер. На каждый точечный заряд q, движущийся со скоростью , действует электромагнитная сила

(47.2)

называемая силой Лоренца.

Вторую составляющую силы Лоренца

(47.3)

называют магнитной силой. В связи с этой силой вводят понятие магнитного поля, характеризуемого вектором , называемым магнитной индукцией. Направления векторов , и связаны правилом правого винта (если направить указательный палец правой руки по вектору , а средний — по вектору , то отогнутый большой палец в случае q > 0 покажет направление вектора , а в случае q < 0 — направление, противоположное направлению вектора ) (рис. 47.1).

Рис. 47.1

Из рис. 47.1 видно, что вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и . Модуль магнитной силы

(47.4)

где v и B — модули векторов и ; α — угол между векторами и . При откуда

(47.5)

Следовательно, магнитная индукция — это вектор, модуль которого равен отношению максимальной магнитной силы, действующей на движущийся положительный точечный заряд, к произведению величины q этого заряда на его скорость v, а направление перпендикулярно направлению магнитной силы. Магнитную индукцию измеряют в теслах (Тл).

Опыт показывает, что движущийся со скоростью точечный заряд q создает на расстоянии r от него магнитную индукцию

(47.6)

где μ₀ — магнитная постоянная (); — радиус-вектор, проведенный из начала координат, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки поля. Направления векторов , и связаны правилом правого винта (рис. 47.2). Из рис. 47.2 видно, что конец радиуса-вектора неподвижен, а его начало движется со скоростью . Поэтому магнитная индукция движущегося точечного заряда зависит не только от положения интересующей нас точки, но и от времени.

Рис. 47.2

Из опыта следует, что магнитная индукция системы N движущихся точечных зарядов или токов

(47.7)

где — магнитная индукция в интересующей нас точке, создаваемая i-м точечным зарядом или током в отсутствие других точечных зарядов или токов. Соотношение (47.7) выражает принцип суперпозиции магнитных полей.

Стационарное (не изменяющееся со временем) магнитное поле можно представить наглядно с помощью линий вектора , которые проводят следующим образом: 1) касательная к ним в каждой точке совпадает с направлением вектора ; 2) число линий, принизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям (густота линий), равно модулю вектора .

Рис. 47.3

Магнитное поле называют однородным, если в каждой точке поля вектор . Линии вектора такого поля параллельны, и расстояния между ними одинаковы (рис. 47.3).

Пример 47.1. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов , движется в однородном магнитном поле с индукцией по окружности радиусом . Определить скорость v частицы.

Дано:	Решение Если заряженная частица с зарядом q влетает со скоростью в однородное магнитное поле перпендикулярно к линиям вектора магнитной индукции , она движется по окружности с постоянной по модулю скоростью под действием магнитной силы
v – ?

направленной к центру окружности (рис. 47.4).

где m — масса частицы.

Рис. 47.4

где А₁₂ — работа сил электрического поля по перемещению заряженной частицы из точки 1 в точку 2; — приращение кинетической энергии частицы при этом перемещении. В нашем случае

Ответ: