§ 22. Первый закон термодинамики

Обозначим приращение внутренней энергии системы при переходе системы из состояния 1 в состояния 2. Приращение энергии может происходить или за счет сообщения системы количества тепла , или за счет совершения над системой работы . Можем написать

(22.1)

Если система совершает работу над внешними телами, то выражение (22.1) принимает вид

или

(22.2)

Соотношение (22.2) выражает первый закон термодинамики: количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.

Первый закон термодинамики обычно записывают в виде

(22.3)

где — элементарное (очень малое) количество тепла, сообщенное системе; — элементарное (очень малое) приращение внутренней энергии системы; — элементарная работа, совершенная системой над внешними телами.

Отметим, что в отличие от внутренней энергии количество тепла и работа не являются функциями состояния, а зависят от способа теплопередачи и совершения работы. Это выражается, например, в том, что

но нельзя написать, что

и

Количество тепла, сообщаемое системе в процессе 12,

(22.4)

Если к системе подводится тепло, > , если тепло отводится от системы, < .

Работа, совершаемая системой над внешними телами в процессе 12,

(22.5)

Если система совершает работу над внешними телами, > , если внешние тела совершают работу над системой, < .

Получим выражение для работы, совершаемой системой. Рассмотрим процесс расширения газа, заключенного в сосуде с подвижным поршнем площадью (рис. 22.1). Сила, действующая на поршень при расширении газа,

где — давление газа на поршень.

Рис. 22.1

При элементарном перемещении поршня газ совершает элементарную работу

(22.6)

где — элементарное приращение объема газа.

Если при расширении газа его объем изменился от до , работа, совершенная газом,

(22.7)

Пример 22.1. Газ совершает процесс, в ходе которого давление изменяется с объемом по закону , где Найти работу , совершаемую газом при расширении от до

Дано:	Решение

Ответ:

Пример 22.2. При изотермическом расширении азота при температуре T = 280 К объем его увеличился в два раза. Определить совершенную при расширении газа работу . Масса азота M = 0,2 кг.

Дано:	Решение .

Ответ:

§ 23. Теплоемкость идеального газа

Различные тела, обладающие одной и той же массой, нагреваются по-разному при сообщении им одного и того же количества тепла. Говорят, что они различаются теплоемкостями.

Теплоемкостью тела называют величину, равную количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин. Можем написать

(23.1)

где — количество тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы увеличить его температуру на .

Теплоемкость одного килограмма тела называют удельной теплоемкостью. Можем написать

(23.2)

где — масса тела.

Теплоемкость одного моля тела называют молярной теплоемкостью . Можем написать

(23.3)

где — число молей тела.

Теплоемкость зависит от условий, при которых происходит нагревание тела. Например, нагревание тела можно проводить при постоянном объеме или при постоянном давлении. В первом случае имеем теплоемкость при постоянном объеме, во втором — теплоемкость C_P при постоянном давлении.

Получим выражение для теплоемкостей и C_P идеального газа.

Пусть нагревание газа происходит при постоянном объеме (V = const) В этом случае газ не совершает работу над внешними телами . Первый закон термодинамики (23.3) имеет вид

(23.4)

С учетом соотношения (23.4) имеем

(23.5)

Внутренняя энергия идеального газа (см. § 16)

откуда, дифференцируя, получаем

(23.6)

Подставляя выражение (23.6) в соотношение (23.5), получаем теплоемкость идеального газа при постоянном объеме

(23.7)

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме

(23.8)

Теперь рассмотрим нагревание газа при постоянном давлении (P = const). Разделим соотношение (22.3) на :

(23.9)

С учетом формулы (23.5)

(23.10)

Продифференцируем уравнение Клапейрона – Менделеева

при P = const:

откуда

dV

(23.11)

По определению теплоемкости (16.1)

dQ

.

(23.12)

Подставляя выражения (23.10)–(23.12) в соотношение (23.9), получаем теплоемкость идеального газа при постоянном давлении

(23.13)

Из соотношения (23.13) видно, что теплоемкость газа при постоянном давлении больше теплоемкости газа при постоянном объеме. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном объеме все подведенное к газу количество тепла идет только на увеличение внутренней энергии, а при нагревании газа при постоянном давлении подведенное к газу количество тепла расходуется не только на увеличение внутренней энергии, но и на работу, совершаемую газом при расширении.

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении

(23.14)

Соотношение (23.14) называют уравнением Майера. С учетом выражения (23.8) имеем

(23.15)

Пример 23.1. При изотермическом расширении ν молей идеального газа при температуре его объем увеличился от до . Определить количество тепла , полученное газом.

Дано:	Решение

Ответ:

Пример 23.2. Какое количество тепла надо сообщить водороду массой M = 100 г для изохорного нагревания на ?

Дано: M = 100 г	Решение

Ответ: