Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет

технологии и дизайна»

Ю. И. Соколов

Курс физики

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2010

Механика глава 1. Кинематика и динамика частицы § 1. Путь и перемещение

Механика — это раздел физики, в котором изучают механическое движение — изменение положения тела в пространстве с течением времени. Положение тела в пространстве определяют по отношению к другому телу, с которым связывают систему координат, например, декартову, представляющую собой три взаимно перпендикулярные оси x, y, z (рис. 1.1). Система координат плюс часы для отсчета времени образуют систему отсчета.

Рассмотрим кинематику движения тела, т. е. движение без учета его причины. Размерами движущегося тела будем пренебрегать и называть его просто частицей.

Положение тела (частицы) в любой момент времени можно задать с помощью радиуса-вектора , проведенного из начала координат 0 в точку пространства, в котором находится тело в момент времени (рис. 1.1). Из рис. 1.1 видно, что радиус-вектор можно записать в виде

(1.1)

где — координаты точки пространства, , — орты системы координат — единичные по модулю безразмерные векторы, направленные по осям соответственно.

Длина радиуса-вектора (его модуль)

(1.2)

Очевидно, при движении частицы ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени :

(1.3)

Если известна зависимость , говорят, что задан закон движения частицы.

Линию, описываемую частицей при ее движении, называют траекторией частицы (рис. 1.2). Пусть за промежуток времени частица переместилась вдоль траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 1.2) Проведем из точки 1 в точку 2 вектор и назовем его перемещением частицы за промежуток времени Из рис. 1.2 видно, что

(1.4)

приращению радиуса-вектора частицы за промежуток времени .

С учетом выражения (1.1) можем написать

Рис. 1.2

(1.5)

Элементарное перемещение частицы из точки 1 за элементарный (очень малый) промежуток времени

(1.6)

причем нетрудно видеть, что вектор направлен по касательной к траектории в точке 1.

Назовем длину отрезка траектории между точками 1 и 2 путем S, пройденным частицей за промежуток времени Из рис. 1.2 видно, что обычно путь больше длины (модуля) перемещения. Однако по мере уменьшения пути это различие уменьшается. Для элементарного (очень малого) пути оно становиться ничтожным, что дает право написать

(1.7)

где — модуль элементарного перемещения частицы.

§ 2. Скорость и ускорение

Мы уже говорили, что при движении частицы ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения радиуса-вектора со временем. Ее называют скоростью частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.1). За элементарный (очень малый) промежуток времени радиус-вектор частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

(2.1)

называют скоростью частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен, так же как и вектор , по касательной к траектории в точке 1.

Рис. 2.1

Аналогично определяют скорость частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. В математике правую часть равенства (2.1) называют производной радиуса-вектора по времени. Следовательно, скорость v частицы в момент времени равна производной по времени от радиуса-вектора этой частицы. Очевидно, для определения скорости частицы в любой момент времени надо знать закон движения частицы (1.3).

Можем написать

(2.2)

где — проекции вектора на координатные оси.

Модуль скорости

(2.3)

Принимая во внимание соотношения (1.7) и (2.1), можем записать выражение для элементарного пути, проходимого частицей за элементарный (очень малый) промежуток времени :

(2.4)

где v — модуль скорости.

Чтобы определить путь S, проходимый частицей за промежуток времени , надо просуммировать элементарные пути по длине отрезка траектории, проходимой частицей за этот промежуток времени. В математике такую операцию называют интегрированием. Можем написать

(2.5)

Путь, проходимый частицей за промежуток времени равен определенному интегралу от функции v(t), взятому в пределах от , до . Очевидно, чтобы произвести интегрирование (2.5), надо знать зависимость модуля скорости частицы от времени

При движении частицы ее скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения скорости со временем. Ее называют ускорением частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.2).

Рис. 2.2

За элементарный (очень малый) промежуток времени скорость частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

(2.6)

называют ускорением частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен так же, как и вектор.

Аналогично определяют ускорение частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. Ускорение частицы в момент времени равно производной по времени от скорости этой частицы.

Очевидно, зная закон движения частицы (1.3), можно найти зависимость скорости от времени а затем ускорение в любой момент времени.

Можем написать

^, (2.7)

где — проекции вектора на координатные оси.

Модуль ускорения

(2.8)

Проведем через некоторую точку траектории частицы две оси: ось τ, направленную по касательной к траектории в сторону вектора , и ось , направленную по нормали к траектории к центру кривизны траектории в одной точке (центру окружности, дугой которой является элементарный (очень малый) отрезок траектории частицы в районе данной точки) (рис. 2.3). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух составляющих и :

, (2.9)

где и — орты осей и ; и — проекции векторов и на эти оси. Вектор называют касательной или тангенциальным ускорением, вектор — нормальным ускорением.

Рис. 2.3

Можно показать, что проекция

(2.10)

производной по времени от модуля скорости частицы. Тангенциальное ускорение частицы характеризует быстроту изменения модуля ее скорости. При ускоренном движении вектора совпадает с направлением скорости частицы. При замедленном движении вектор противоположен направлению скорости .

Можно показать, что проекция

(2.11)

где R — радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости частицы. Вектор всегда направлен к центру кривизны траектории.

Модуль ускорения

. (2.12)

Пример 2.1. Радиус-вектор при движении частицы по траектории изменяется по закону , м. Найти модуль скорости частицы в момент t₁ = 2с.

Дано:	Решение

Ответ:

Пример 2.2. Закон движения частицы м. Найти проекцию ускорения частицы в момент времени t₁ = 5c.

Дано:	Решение

^.

^.

Ответ: a_x(t₁) = – 90 м/с².

Пример 2.3. В момент времени скорость частицы ускорение Найти радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент времени .

Дано:

Решение .

Ответ:

Пример 2.4. Закон движения частицы Найти путь частицы за одиннадцатую секунду ее движения.

Дано:	Решение

Ответ: S₁₂ = 63 м.