Глава 3. Законы сохранения § 7. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии

Назовем силовым полем (или просто полем) область пространства, в которой в каждой точке на помещенную туда частицу действует сила. Если эта сила перемещает частицу по траектории из точки 1 в точку 2 и при этом ее работа не зависит от пройденного частицей пути, а зависит только положение точек 1 и 2, силу называют консервативной, а поле, где действует такая сила, потенциальным.

Рис. 7.1

Пусть консервативная сила перемещает частицу из разных точек потенциального поля в одну фиксированную точку 0. Работа этой силы будет зависеть только от положения точек , определяемым радиусом-вектором , или, другими словами, работа является некоторой функцией :

(7.1)

Функцию называют потенциальной энергией частицы в данной точке поля.

Найдем работу силы при движении частицы из точки 1 в точку 2 по траектории, проходящей через точку 0 (рис. 7.1). Можем написать

или, с учетом выражения (7.1),

(7.2)

откуда видно, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии частицы.

По определению элементарная работа силы

а согласно основному уравнению динамики частицы

откуда

(7.3)

Величину

(7.4)

где и v — масса и скорость частицы соответственно, называют кинетической энергией частицы.

Из выражения (7.3)

при движении частицы по траектории из точки 1 в точку 2 получаем

(7.5)

откуда видно, что работа консервативной силы равна приращению кинетической энергии частицы.

В том случае, если частица в потенциальном поле движется под действием консервативной и сторонней (неконсервативной) сил, соотношение (7.5) имеет вид

(7.6)

где и — соответственно работы консервативной силы и сторонней силы (например, силы трения).

С учетом выражений (7.2) и (7.6), можем записать

откуда

(7.7)

где величину

(7.8)

называют механической энергией частицы в потенциальном поле.

В том случае, если на частицы действует только консервативная сила, то в формуле (7.7) , откуда следует

или

(7.9)

механическая энергия частицы, на которую действует только консервативная сила, остается постоянной (закон сохранения механической энергии):

(7.10)

Если сила, действующая на твердое тело, является консервативной, то закон сохранения механической энергии (7.10) справедлив и для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, однако кинетическая энергия вращательного движения будет иметь другой вид, чем (7.4), а именно

(7.11)

Пример 7.1. Тело массой бросили со скоростью v₁ с башни высотой (рис. 7.2). На землю тело упало со скоростью v₂. Найти по этим данным работу A_c силы сопротивления воздуха.

Дано: v1 V2	Решение Рис. 7.2
Ac – ?

Ответ:

Пример 7.2. Сплошной цилиндр массой катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Скорость оси цилиндра Найти кинетическую энергию цилиндра.

Дано:	Решение Если твердое тело с массой вращается вокруг оси, проходящей через центр масс тела, который в свою очередь движется поступательно со скоростью v, то кинетическая энергия такого тела
– ?

где — кинетическая энергия поступательного движения тела;

—кинетическая энергия вращательного движения тела.

(см. Приложение А).

Ответ:

Пример 7.3. Тело бросили со скоростью под углом к горизонту. Найти скорость v₂ тела на высоте над горизонтом. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:	Решение .
v2 – ?

Ответ:

Пример 7.4. Карандаш длиной поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую ω и линейную v_c скорости будет иметь в конце падения середина карандаша?

Дано:	Решение где Е1 и Е2 — механическая энергия карандаша в положениях 1 и 2 (рис. Рис. 7.3 7.3). Ось вращения проходит через основание карандаша перпендикулярно плоскости
ω – ? vc – ?

(см. Приложение А)

Ответ: