§ 83. Микрочастица в потенциальном ящике
Рассмотрим движение микрочастицы в потенциальном поле U(x) при условиях
и
(83.1)
и
(83.2)
В этом случае говорят, что микрочастица движется в одномерном потенциальном ящике (рис. 83.1).
В
пределах ящика потенциальная энергия
микрочастицы U
= 0 и уравнение Шредингера имеет вид
(83.3)
при граничных условиях
Рис. 83.1
(83.4)
(83.5)
Обозначим
(83.6)
где k — волновое число волны де Бройля для микрочастицы внутри потенциального ящика. Общее решение уравнения
запишем в виде
где A и B — постоянные.
Используя граничные условия (83.4) и (83.5), получаем
откуда A = 0.
откуда следует, что число k принимает лишь определенные дискретные значения kn, удовлетворяющие условию
или
(83.7)
где n = 1, 2, 3, … .
Следовательно, волновая функция внутри потенциального ящика имеет вид
(83.8)
Подставляя выражение (83.7) в соотношение (83.6), получаем очень важный результат:
(83.9)
т. е. энергия E микрочастицы в потенциальном ящике не произвольна. Она принимает лишь ряд дискретных собственных значений En.
Ф
изические
величины, принимающие лишь определенные
дискретные значения, называются
квантованными.
Таким образом, энергия микрочастицы,
находящейся в потенциальном ящике,
является квантованной.
Квантованные значения En
называют уровнями
энергии, а
число n,
определяющее энергетический уровень
микрочастицы, — квантовым
числом.
Отметим, что микрочастица, двигаясь в потенциальном ящике с потенциальным барьером конечной высоты U0, даже имея энергию E < U0, может пройти сквозь потенциальный барьер (рис. 83.2). Это явление называют туннельным эффектом. Расчет дает, что вероятность туннельного эффекта
Рис. 83.2
(83.10)
где L — ширина потенциального барьера.
Туннельный
эффект осуществляется только в тех
случаях, когда ширина L
потенциального барьера соизмерима с
атомными размерами. Например, при
и
для электронов с
Пример 83.1. Микрочастица находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что микрочастица, находящаяся в первом возбужденном состоянии (n = 2), будет обнаружена в средней части ширины ящика.
|
Дано:
l
n = 2
|
Решение
Используя условие нормировки вероятности, найдем B:
|
|
P – ? |
Ответ: P = 0,195.
Глава 20. Атомная физика § 84. Атом водорода
Атом водорода состоит из протона и электрона. Рассмотрим движение электрона в электростатическом поле протона (протон в атоме водорода считаем неподвижным). Потенциальная энергия электрона
где
q
— заряд электрона; r
— расстояние между электроном и протоном;
— потенциал, создаваемый протоном на
расстоянии r
от него.
В случае атома водорода уравнение Шредингера следует записать в сферических координатах. Решение этого уравнения дает следующие квантовые значения механической энергии электрона в атоме:
(84.1)
где n = 1, 2, 3, … — квантовое число, называемое главным квантовым числом; m и q — масса и заряд электрона.
Кроме того, из решения уравнения Шредингера оказывается, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле
(84.2)
где l = 0, 1, 2, …, (n – 1) — орбитальное квантовое число. Состояние электрона, обладающего различными значениями орбитального квантового числа, в атомной физике принято обозначать и называть следующим образом:
l = 0 s-состояние;
l = 1 p-состояние;
l = 2 d-состояние;
l = 3 f-состояние
и так далее в порядке названия букв латинского алфавита.
Рассмотрим более подробно s-состояние электрона в атоме водорода при n = 1. Такое состояние электрона и атома называют основным. Волновая функция электрона в этом состоянии является функцией только r: ψ = ψ®.
Уравнение Шредингера для основного состояния атома водорода имеет вид
(84.3)
Его общее решение запишем в виде
(84.4)
где C и a0 — постоянные. Продифференцируем выражение (84.4):
(84.5)
(84.6)
Подставляя формулы (84.4)–(84.6) в уравнение (84.3), получаем
Так как последнее соотношение должно быть справедливо для любых r, то оба слагаемых в скобках в отдельности должны равняться нулю. Можем написать
откуда
(84.7)
Можем написать
откуда с учетом формулы (84.7) получаем
(84.8)
Сравнение выражений (84.1) и (84.8) показывает, что мы получили значение энергии основного состояния атома водорода, соответствующее n = 1.