§ 50. Теорема о циркуляции вектора

Теорема. Циркуляция вектора по произвольному контуру равна , где I — алгебраическая сумма токов, охватываемых этим контуром:

(50.1)

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта (если вращать винт в направлении обхода по контуру, то направление движения винта должно показывать направление тока).

В противном случае ток считается отрицательным.

Тот факт, что циркуляция вектора может быть не равна нулю, означает, что магнитное поле не является потенциальным (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым.

Теорема о циркуляции вектора позволяет в некоторых случаях очень просто определить магнитную индукцию в любой точке магнитного поля.

Пример 50.1. Проводник имеет форму бесконечно длинного цилиндра с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂. Текущий по проводнику ток силой I равномерно распределен по его сечению. Найти магнитную индукцию В на расстоянии r₁ от оси проводника (R₁< r₁< R₂).

Дано: R1 R2 I r1	Решение Изобразим поперечное сечение проводника (рис. 50.1). Пусть ток в проводнике течет «от нас». Возьмем произвольную точку внутри проводника на расстоянии r1 от его оси и проведем через эту точку контур в виде окружности с центром О, лежащим на оси проводника (на рис. 50.1 — пунктирная линия). Отметим, что проведенный контур является линией вектора , направленной по часовой стрелке.
В – ?
Рис. 50.1		Определим циркуляцию вектора по контуру, обходя его также по часовой стрелке. (50.2) (мы учли, что при интегрировании B = const и угол между векторами и равен нулю).

Согласно теореме о циркуляции вектора

(50.3)

где — сила тока в проводнике, охватываемом контуром.

Очевидно,

(50.4)

где j — модуль плотности тока; — площадь той части поперечного сечения проводника, которая охватывается контуром (см. формулу (43.6)).

Так как ток равномерно распределен по всему сечению проводника, можем написать

(50.5)

где — площадь поперечного сечения проводника.

Подставляя выражения (50.4) и (50.5) в соотношение (50.3), получаем

откуда

Ответ:

§ 51. Магнитное поле в соленоиде

Соленоид — это провод, намотанный по винтовой линии на цилиндрическую поверхность. Витки провода расположены вплотную друг к другу, поэтому соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых витков одинакового радиуса с общей осью.

Если по соленоиду течет ток, то система круговых витков создает магнитное поле с магнитной индукцией , направленной вдоль оси соленоида, причем направление вектора связано с направлением тока правилом правого винта (см. рис. 48.3). Если длина соленоида намного больше радиуса круговых витков, то практически все магнитное поле, создаваемое соленоидом, сосредоточено внутри соленоида (аналогично электрическому полю, создаваемому конденсатором).

Используя теорему о циркуляции вектора , получим выражение для магнитной индукции В поля внутри длинного соленоида. Изобразим продольный разрез соленоида, по которому течет постоянный электрический ток силой I (рис. 51.1).

Рис. 51.1

Возьмем произвольную точку внутри соленоида и проведем через эту точку контур в виде прямоугольника, как показано на рис. 51.1. Определим циркуляцию вектора по контуру, обходя его по часовой стрелке. Можем написать (51.1)

В соотношении (51.1)

где ℓ₁₂ — длина стороны 12 прямоугольника (мы учли, что при интегрировании B = const, так как сторона 12 является одной из линий вектора ),

так как вне соленоида ,

Таким образом,

(51.2)

Согласно теореме о циркуляции вектора (50.1)

(51.3)

где N — число витков на длине ℓ₁₂ соленоида, откуда

(51.4)

где — число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

Из выражения (51.4) видно, что магнитная индукция не зависит от положения выбранной точки. Следовательно, магнитное поле внутри соленоида является однородным ().

Пример 51.1. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индукцию B в соленоиде, если по обмотке идет ток силой I = 0,5 А.

Дано: d = 0,2 мм I = 0,5 А	Решение Рис. 51.2
В – ?

где N — число одинарных витков на длине ℓ соленоида.

(см. рис. 51.2, где представлен продольный разрез соленоида).

Ответ: B = 6,28 мТл.