§ 34. Циркуляция вектора
Электрическое поле, создаваемое одним неподвижным точечным зарядом или системой неподвижных точечных зарядов, называют электростатическим. Работа сил этого поля по перемещению заряженной частицы между двумя любыми точками не зависит от траектории перемещения частицы, а зависит только от положения этих точек.
Пусть
точечный заряд
= 1 Кл переносится под действием силы
электростатического поля из точки 1 в
точку 2. Работа силы
(34.1)
где
— элементарное перемещение заряда
,
не зависит от траектории движения заряда
.
Следовательно, линейный интеграл
не зависит от формы и длины линии между точками 1 и 2. Интеграл
взятый
по замкнутой линии (контуру), называют
циркуляцией
вектора
(
—
элементарное перемещение вдоль контура).
Аналогично определяют циркуляцию любого
вектора.
Теорема
о циркуляции вектора
.
Циркуляция вектора
в любом электростатическом поле равна
нулю:
(34.2)
Доказательство
теоремы.
Имеем замкнутый контур 1a2b1
(рис. 34.1).
Циркуляция вектора
(34.3)
|
Рис. 34.1 |
Так как
|
не зависит от формы и длины линии,
имеем
(34.4)
Подставляя выражение (34.3) в соотношение (34.3), получаем
что и требовалось доказать.
Теорема
о циркуляции вектора
позволяет по линиям вектора
определить, электростатическое это
поле или нет.
Пример 34.1. Является ли поле, изображенное на рис. 34.2, электростатическим?
|
Рис. 34.2 |
Решение. Проведем
замкнутый контур в виде окружности с
центром, совпадающим с центром поля
(пунктирная окружность на рис.
34.2). Будем обходить контур по
часовой стрелке. Циркуляция вектора
(мы учли, что
при интегрировании по контуру угол
между векторами
|
и
равен
).
Следовательно,
согласно теореме о циркуляции вектора
,
поле, изображенное на рис.
34.2, является
электростатическим.
Пример
34.2. Возьмем
в качестве замкнутого контура одну из
линий вектора
.
Будем обходить контур по часовой стрелке.
Циркуляция вектора
где
ℓ — длина контура (мы учли, что при
интегрировании по контуру угол между
векторами
и
равен нулю и Е
= const).
Следовательно,
согласно теореме о циркуляции вектора
,
поле, изображенное на рис.
34.3, не является
электростатическим.
Рис. 34.3
§ 35. Потенциал поля
Работа
сил электростатического поля при
перемещении точечного заряда
из точки 1 в точку 2
(35.1)
не
зависит от траектории перемещения
заряда
,
а зависит только от положения точек 1 и
2. Следовательно, электростатическое
поле является потенциальным. Можем
написать
(35.2)
где
— убыль потенциальной энергии поля при
переходе из точки 1 в точку 2.
Введем скалярную величину
(35.3)
и назовем ее потенциалом электрического поля. Потенциал φ равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда в данной точке поля. Единицей измерения потенциала является вольт (В).
Подставляя
выражение
в соотношение (35.2), получаем
(35.4)
где
— убыль потенциала электрического поля
при переходе из точки 1 в точку 2.
С учетом выражения (35.4) запишем соотношение (35.1) в виде
(35.5)
Формула
(35.5) дает возможность найти потенциал
любого электростатического поля. Найдем
потенциал поля точечного заряда q.
Так как
где
— приращение потенциала, имеем для
элементарного перемещения
(35.6)
С учетом выражения (31.3) можем написать
(35.7)
(мы
учли, что скалярное произведение
— элементарному приращению модуля
радиуса-вектора (рис.
35.1)).
Рис. 35.1
Подставим выражение (35.7) в соотношение (35.6) и проинтегрируем:
(35.8)
(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Из выражения (35.8) видно, что в зависимости от знака заряда q, потенциал φ может быть как положительным, так и отрицательным.
Найдем
потенциал поля системы N
точечных зарядов
.
Используя принцип суперпозиции
электрических полей, можем написать
откуда
(35.9)
где
— потенциал поля в интересующей нас
точке, создаваемый i-м
точечным зарядом в отсутствие других
точечных зарядов. Следовательно, принцип
суперпозиции справедлив и для потенциала
электрического поля.
Пример
35.1. Заряженная
частица, пройдя ускоряющую разность
потенциалов
приобрела скорость
Найти удельный заряд частицы (отношение
ее заряда q
к массе m).
|
Дано:
|
Решение
|
|
q/m – ? |
Ответ:
