§ 5. Средняя скорость и среднее ускорение

Из математики известно, что среднее значение функции (скалярной или векторной) на промежутке от до определяется выражением

(5.1)

Если известны зависимости скорости и ускорения частицы от времени при ее движении по траектории, то, используя выражение (5.1), можно определить их средние значения за любой промежуток времени Можно написать

(5.2)

(5.3)

Аналогично можно записать выражения для средних значений модуля вектора и его проекций на координатные оси, например, на ось x:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

В случае вращения твердого тела имеем

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

Пример 5.1. Закон движения частицы Найти среднюю скорость частицы за промежуток времени от t₁=2 с до t₂=4 с.

Дано: t1=2 с t2=4 с	Решение
– ?

Ответ:

Пример 5.2. Закон вращения тела где a = 6 рад/c, b = = 2 рад/с³. Найти средний модуль углового ускорения тела за промежуток времени от до момента остановки тела.

Дано:	Решение
– ?

Ответ: = 6 рад/с².

§ 6. Момент силы

Пусть частица движется под действием силы и ее положение в пространстве в некоторый момент времени определяет радиус-вектор , проведенный из точки 0, являющейся началом координат (рис. 6.1).

Назовем моментом силы относительно точки 0 вектор , равный векторному произведению векторов и :

(6.1)

Рис. 6.1

Направления векторов и связаны правилом правого винта (если направить указательный палец правой руки по вектору , а средний — по вектору , то отогнутый большой палец покажет направление вектора (рис. 6.1)). Модуль момента силы

(6.2)

где и — модули векторов и ; α — угол между векторами и

Назовем прямую, вдоль которой направлена сила, линией действия силы, а расстояние от линии действия силы до точки 0 — плечом силы относительно точки 0. Как видно из рис. 6.1,

откуда

(6.3)

Проекция вектора на координатные оси называют моментами силы относительно этих осей. Например, — момент силы относительно оси .

Теперь перейдем к рассмотрению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . Причиной этого вращения может быть сила , приложенная к какой-либо частице тела, отстоящей от оси на некотором расстоянии . Под действием силы эта частица, а также все остальные частицы твердого тела будут двигаться по различным окружностям, центры которых лежат на оси , а твердое тело вращаться с ускорением вокруг оси .

Расчет показывает, что для данного твердого тела и определенной оси вращения проекция углового ускорения пропорциональна проекции момента силы :

(6.4)

где — положительная скалярная величина, называемая моментом инерции твердого тела относительно оси .

По определению

(6.5)

где и — масса и расстояние -й частицы тела от z;

N — число частиц, из которых состоит тело.

Для нахождения момента инерции твердого тела от выражения (6.5) переходят к формуле

(6.6)

где — масса элемента тела, находящего на расстоянии от оси

В Приложении приведены моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси , проходящей через центр масс тела. Зная момент инерции , можно определить момент инерции относительно любой оси, параллельной оси и отстоящей от нее на расстоянии (теорема Штейнера):

(6.7)

где — масса тела.

Соотношение (6.4), записанное в виде

(6.8)

называют основным уравнением динамики вращения твердого тела.

Если на тело действует не одна, а несколько сил, то в уравнении (6.8) M_z — суммарный момент сил относительно оси

При повороте тела на элементарный угол dφ сила совершает элементарную работу

(6.9)

Работа силы при повороте тела на угол

(6.10)

Мощность этой силы

(6.11)

где — проекция угловой скорости тела на ось вращения .

Пример 6.1. Колесо диаметром D = 60 см вращается под действием касательной к ее ободу силы F = 10 H. Найти момент инерции колеса относительно неподвижной оси , проходящей через центр колеса перпендикулярно его плоскости, если за промежуток времени от до t₂ = 3 c проекция угловой скорости колеса изменилась от 0 до 9 рад/с.

Дано: D = 60 см F = 10 H t2 = 3 c	Решение
J – ?

Ответ:

Пример 6.2. Закон вращения шара, где А = 2 рад, Шар вращается вокруг оси , проходящей через его центр. Найти среднюю мощность , развиваемую силой, действующей на шар при его вращении от до момента времени его остановки. Радиус шара Масса шара

Дано:	Решение

(см. Приложение А)

Ответ: