2. Санақ жүйесі

2.1. Санақ жүйесінің негізгі ұғымдары

Сандардың атау және жазу ережелері мен әдістерінің жиыны санақ жүйесі деп аталады. Санақ жүйесінің негізі(q) дегеніміз қолданылатын цифрлар саны.

Санақ жүйелері сандарды бейнелеу тәсіліне байланысты позициялық және позициялық емес болып екіге жіктеледі. Егер цифрдің мағыналы мәні оның позициясынан тәуелді болса, онда ол позициялық санақ жүйесі деп аталады. Мысалы, 111 саны позициясына байланысты бірлік, ондық және жүздік ұғымдарын береді. Позициялық емес санақ жүйесінде цифрдің мәні оның позициясынан тәуелсіз. Мысалы, римдік санақ жүйесіндегі ІІІ саны; мұнда үш «бір» бірігіп «үш» санын береді және олардың мағынасы позициясынан тәуелсіз.

Санақ жүйелерінің төрт түрі бар. Олар:

1. екілік санақ жүйесі (0 мен 1)

2. сегіздік санақ жүйесі (0,1,2,3,4,5,6,7)

3. ондық санақ жүйесі (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

4. оналтылық санақ жүйесі (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Барлық санақ жүйелерінің ішіндегі ең қарапайымы, әрі есептеуіш құрылғылар үшін маңыздысы -екілік санақ жүйесі, q=2.

Есептеуіш техника дамуының алғашқы кезеңінен бастап нақты сандармен жүргізілетін арифметикалық амалдар екілік санақ жүйесінде жүргізілді. Себебі, барлық сигналдар 0 мен 1 түрінде беріледі. Жедел жады транзисторлары (конденсаторлар) екі мәннің біреуін ғана қабылдайды: зарядталған немесе зарядталмаған. 1 саны «ақиқат», 0 саны «жалған» ұғымын береді.

Кез-келген санды 0 мен 1 көмегімен жазуға болады. Мысалы, 7 санын екілік санақ жүйесінде жазсақ, 111 саны шығады: . Екілік санақ жүйесінде жұмыс жасау үшін 8 ереже жеткілікті. Олар:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

№1 мысал: Екілік санақ жүйесінде 1001+1011 қосындысын есептейік.

Тексеру:

№2 мысал: Екілік санақ жүйесінде 101*110 көбейтіндісін есептейік.

Тексеру:

Сегіздік санақ жүйесі 0-ден 7-ге дейінгі сандарды қамтиды. Сегіздік санақ жүйесі екілік санақ жүйесіне қарағанда, үш есе көп () разрядтар санын қажет етеді.

Күнделікті өмірде ондық санақ жүйесі қолданылады. Математикада кез-келген санды 0-ден 9-ға дейінгі сандар көмегімен жазуға және әртүрлі есептеулер жүргізуге болады. Оналтылық санақ жүйесі 0-ден 9-ға дейінгі сандар және A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) цифрларын қамтиды. Ол үлкен диапазонды сандарды жазу мүмкіндігін береді.

2.2. Бір санақ жүйесінен басқа санақ жүйесіне келтіру ережелері

1-ереже. Ондық санақ жүйесінде берілген бүтін санды екілік (сегіздік немесе оналтылық) санақ жүйесіне ауыстыру үшін берілген санды санақ жүйесінің негізіне, яғни 2-ге (8-ге немесе 16-ға) бөледі. Бөлуді негізден кіші сан шыққанға дейін жалғастырады. Алынған нәтижені соңынан бастап жазады.

Түсінікті болу үшін мысал келтірейік: ондық санақ жүйесінде берілген 19 санын екілік санақ жүйесіне ауыстыру қажет. Ол үшін жоғарыдағы ережені пайдаланамыз, яғни 19 санын санақ жүйесінің негізі 2-ге бөлеміз. Бөлуді екіден кіші сан шыққанға дейін жалғастырып, алынған нәтижені соңынан бастап жазамыз.

Нәтижесі - саны.

Ондық санақ жүйесінде берілген 19 санын сегіздік және оналтылық санақ жүйелеріне ауыстырайық:

2-ереже. Екілік (сегіздік немесе оналтылық) санақ жүйесінде берілген бүтін санды ондық санақ жүйесіне ауыстыру үшін берілген санның цифрларын санақ жүйесі негізінің, яғни 2-нің (8-дің немесе 16-ның) дәрежелеріне көбейтіп, шыққан сандарды қосады. Алдыңғы мысалдарды тексерейік:

,

,

.

3-ереже. Ондық санақ жүйесінде берілген бөлшек санды екілік (сегіздік немесе оналтылық) санақ жүйесіне ауыстыру үшін берілген санды санақ жүйесінің негізіне, яғни 2-ге (8-ге немесе 16-ға) көбейтеді. Көбейту нәтижесінде алынған бүтін сан үтірден кейінгі санды береді. Көбейту бөлшек бөлік нөлге айналғанға дейін жалғасады.

0,8125 санын екілік және сегіздік санақ жүйесіне ауыстырайық:

Бүтін	Бөлшек
0	8125 *2
1	625 *2
1	250 *2
0	5 *2
1	0

Бүтін	Бөлшек
0	8125 *8
6	5 *8
4	0

Нәтижесінде және.

4-ереже. Екілік (сегіздік немесе оналтылық) санақ жүйесінде берілген бөлшек санды ондық санақ жүйесіне ауыстыру үшін берілген санның цифрларын санақ жүйесі негізінің, яғни 2-нің (8-дің немесе 16-ның) теріс дәрежелеріне көбейтіп қосады.

Алдыңғы мысалдағы сандарды тексерейік:

.