Как и для цепи с R, мгновенное значение мощности определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока: р=ui=UmImsin(ωt+π/2)sinωt=UmImcosωtsinωt.
Так как sinωtcosωt=sin2ωt/2 и UmIm/2 =UI, то окончательно имеем
p=UIsin2ωt. |
(5.9) |
Из графика рис. 5.9 видно, |
что при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная |
мощность положительна, а при разных знаках — отрицательна. Физически это означает, что в
первую четверть периода переменного тока энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля катушки. Во вторую четверть периода, когда ток убывает, катушка возвращает накопленную энергию источнику. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источником повторяется и т. д.
Таким образом, в среднем катушка не потребляет энергии и, следовательно, активная мощность P=0.
Реактивная мощность.
Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и
катушкой служит реактивная мощность: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Q=UI. |
|
|
(5.10) |
|
|
|
Единицей реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (ВАр). |
|
|
||||||
|
|
|
Карточка № 5.2 (189). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Цепь с индуктивностью |
|
|
|
|
|
ЭДС индукции в катушке достигает максимума, когда ток |
максимум |
|
|
50 |
||||
проходит через |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
нулевое значение |
|
6 |
|||
Ток в цепи с L изменяется по закону i=Imsin(ωt-π/2). |
u=Umsinωt; |
|
|
2 |
||||
Как изменится напряжение и ЭДС самоиндукции в цепи? |
eL=Emsin(ωt-π). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
u=Umsin(ωt-π/2). |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
eL=Emsin(ωt+π/2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
u=Umsin(ωt+π/2).; |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
eL=Emsin(ωt-π/2). |
|
|
|
Укажите параметр |
переменного |
тока, от |
которого зависит |
Действующее значение |
3 |
|||
индуктивное сопротивление катушки |
|
напряжения U |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фаза напряжения ψ |
|
137 |
|
|
|
|
|
|
Период |
переменного |
98 |
|
|
|
|
|
|
тока T |
|
|
|
Оказывает |
ли |
индуктивная |
катушка |
сопротивление |
Оказывает |
|
|
123 |
постоянному току, если Rк=0? |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Не оказывает |
|
42 |
||||
К источнику переменного тока подключена катушка с R=0. В |
Амперметра |
|
и |
125 |
||||
схему кроме амперметра и вольтметра включены частотомер Hz |
вольтметра |
|
|
|
||||
и ваттметр W, измеряющий среднее значение мощности. |
|
|
||||||
Амперметра, вольтметра |
82 |
|||||||
Показания |
каких |
приборов дают возможность рассчитать |
и ваттметра |
|
|
|
||
индуктивность L катушки? |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Амперметра, вольтметра |
41 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
и частотомера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.4. Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью
Цепь (рис. 5.10) состоит из участков, свойства которых известны. Проанализируем работу данной цепи. Пусть ток в цепи изменяется по закону i=Imsinωt. Тогда напряжение на активном сопротивлении uR=URmsinωt, так как на этом участке напряжение и ток совпадают по фазе. Напряжение на катушке uL=ULmsin(ωt+π/2), поскольку на индуктивности напряжение опережает
по фазе ток на угол π/2. Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи (рис. 5.11). Сначала откладываем вектор тока I, затем вектор напряжения UR, совпадающий по фазе с вектором тока. Начало вектора UL, опережающего вектор тока на угол π/2, соединим с концом вектора UR для удобства их сложения. Суммарное напряжение и=Umsin(ωt+ϕ) изображается вектором U, сдвинутым по фазе относительно вектора тока на угол ϕ. Векторы UR, UL и U образуют треугольник напряжений. Выведем закон Ома для этой цепи. На основании теоремы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пифагора для |
треугольника |
напряжений |
|
имеем U = UR2 +UL2 . Но UR=I/R, a UL=IXL; |
||||||||
следовательно, |
U = |
I 2 R2 + I 2 X L2 |
= I |
R2 + X L2 |
|
откуда |
|
|
|
|||
|
|
|
|
I = |
|
|
U |
(5.11) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R2 |
+ X L2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 5.10. Схема цепи переменного тока с R и L |
Рис. 5.11. Векторная диаграмма для цепи с R и L |
||
Введем обозначение |
|
= Z , где Z — полное сопротивление цепи. Тогда выражение |
|
R2 + XL2 |
|||
закона Ома примет вид |
|
||
|
I=U/Z. |
(5.12) |
|
Так как полное сопротивление цепи Z определяется по теореме Пифагора, ему соответствует треугольник сопротивлений (рис. 5.12). Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений. Сдвиг фаз ϕ между током и напряжением
определяется из треугольника сопротивлений: |
|
tgϕ=XL/R; |
(5.13) |
cosϕ=R/Z. |
(5.14) |
Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол ϕ от вектора тока I. Поскольку вектор U сдвинут по фазе относительно вектора I на угол ϕ против часовой стрелки, этот угол имеет положительное значение. В дальнейшем покажем, что знак угла ϕ определяется по формальному признаку.
Выведем энергетические соотношения для цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.
Рис. 5.12. Треугольник сопротивлений для цепи с R и L |
Рис. 5.13. Временные диаграммы напряжения, тока и |
|
мгновенной мощности для цепи с R и L |
||
|
Мгновенная мощность.
Мгновенная мощность выражается соотношениями
p= ui = Um Im sin (ωt +ϕ )sinωt =
=Um Im (sinωt cosϕ + cosωt sinϕ )sinωt =
=Um Im (sin2 ωt cosϕ + sinωt cosωt sinϕ ) =
=Um Im æç1- cos 2ωt cosϕ + sin 2ωt sinϕ ö÷ =
è2 2 ø
= Um2Im (cosϕ -(cos 2ωt cosϕ -sin 2ωt sinϕ ))
или
p = UI cosϕ -UI cos(2ωt +ϕ )
Анализ выражения (5.15) и рис. 5.13, построенного на его основе, показывает, что мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня UIcosj, который характеризует среднюю мощность. Отрицательная часть графика определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивной катушке и обратно.
Средняя мощность.
Средняя, или активная, мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении и, следовательно, P=URI. Из векторной диаграммы (см. рис. 5.11) видно, что UR=Ucosj. Тогда
P=UIcosj. (5.16)
Реактивная мощность.
Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивной катушкой и источником:
Q=ULI=UIsinϕ. (5.17)
Полная мощность.
Понятие полной мощности применяют для оценки предельной мощности электрических машин:
S=UI. |
(5.18) |
|
Так как sin2ϕ+cos2ϕ=l, то |
|
(5.19) |
S = P2 + Q2 |
||
Единицей полной мощности является вольт-ампер (В×А).