§ 2.13. Расчет сложных электрических цепей

Сложной называют электрическую цепь, не сводящуюся к последовательному и параллельному соединению потребителей.

В качестве примера рассмотрим сложную цепь рис. 2.13. Задача сводится к определению токов во всех ее ветвях, в нашем случае токов I1, I2 и I3. Значения ЭДС и сопротивлений заданы.

Существует несколько методов расчета сложных цепей. Рассмотрим некоторые из них.

Метод узловых и контурных уравнений.

Приведем методику решения задачи этим методом.

Направление токов выбирают произвольно. Если в результате решения отдельные токи окажутся отрицательными, то это будет означать, что в действительности они проходят в направлении, противоположном выбранному. Для определения трех неизвестных токов необходимо составить три независимых уравнения, связывающих эти токи. На основании первого

закона Кирхгофа для узла с

I1+I2-I3=0. (2.42)

Уравнение для узла f имеет вид

I3-I2-I1=0,

т. е. оно совпадает с уравнением (2.42). Таким образом, если в схеме два узла, то число независимых уравнений, составленных с помощью первого закона Кирхгофа, одно. Обобщая это положение, приходим к выводу, что если сложная цепь имеет п узлов, то число уравнений, которые можно составить на основании первого закона Кирхгофа, на единицу меньше, т. е. п — 1.

Рис. 2.13. Сложная электрическая цепь

Недостающие уравнения можно получить на основании второго закона Кирхгофа. Возьмем контур abcf (рис. 2.13) и определим потенциал точки а относительно той же точки, совершив обход этого контура по часовой стрелке:

ϕa = ϕа + E1 − I1Rвт1 − I1R1 + I2R2 − E2 + Rвт2

Записывая формулу (2.43) так, чтобы ЭДС оказались в левой части, а падения напряжения

— в правой, получим уравнение, соответствующее второму закону Кирхгофа:

E1 − E2 = I1Rвт1 + I1R1 − I2 Rвт2 − I2 R2

Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падения напряжений этого контура.

Если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС и токов, то эти ЭДС и соответствующие падения напряжений берут со знаком плюс, в противном случае они будут отрицательными. Данное уравнение позволяет получить новое соотношение между неизвестными

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа контуры нужно выбирать так, чтобы каждый из них отличался хотя бы одной ветвью.

Пример 2.1. Рассчитать цепь рис. 2.13, если E1=246В; Е2=230В; R1=0,3Ом; R2=1Ом;

R3=24Ом; Rвт1=Rвт2=0.

Р е ш е н и е . Объединим уравнения (2.42), (2.43) и (2.46) в систему:

Заменив буквенные обозначения числовыми, получим

Решив систему (2.46), найдем I1=20А; I1=—10А; I3=10А. Знак минус у тока I2 означает, что его направление противоположно направлению, принятому на рис. 2.13, и источник E2 является потребителем энергии.

Метод контурных токов.

Если сложная цепь содержит довольно много узлов и контуров, то ее расчет с помощью первого и второго законов Кирхгофа будет связан с решением большого числа уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных только для независимых контуров.

Под контурными токами понимают условные токи, замыкающиеся в соответствующих контурах.

Рассмотрим схему цепи, представленную на рис. 2.14. Эта схема имеет два независимых контура I и II, в каждом из которых проходят токи II и III. Направления этих токов выбирается произвольными, например по часовой стрелке. Из рассмотрения схемы (рис. 2.14) видно, что реальные токи во внешних ветвях равны контурным: I1=II; I3=III. Ток во внутренней ветви равен разности контурных токов: I2= I1— III. Для определения контурных токов составим два уравнения:

E1 - E2 = (Rвт1 + R1 + Rвт2 + R2 ) II - (Rвт2 + R2 ) III ;

Пример 2.2. Рассчитать цепь рис. 2.14. Данные взять из примера 2.1. Р е ш е н и е . На основании системы уравнений (2.47) получим

Решив систему (2.48), найдем I1=II=20А; I3=III=10А; ток I2 определяют как I2=II— III=20— 10=10А.

Метод узлового напряжения.

случае расчет цепи значительно упрощается, так как достаточно определить так называемое узловое напряжение Uab (рис. 2.15). После этого токи в ветвях находят следующим образом. Все токи в ветвях направляют к узлу, потенциал которого условно принимают более высоким (для схемы рис. 2.15 это безусловно так). Узловое напряжение

U = E1G1 + E2G2 ab G1 + G2 + G3

где G1, G2, G3 — проводимости соответствующих ветвей. Если ЭДС какого-нибудь источника, например E2, направлена к узлу b, то произведение E2,G2 берется со знаком минус. Токи в ветвях определяются так: