§ 4.4. Изображение синусоидальных величин с помощью векторов

При расчете цепей переменного тока часто приходится производить операции сложения и вычитания токов и напряжений. Когда токи и напряжения заданы аналитически или временными диаграммами, эти операции оказываются весьма громоздкими. Существует метод построения векторных диаграмм, который позволяет значительно упростить действия над синусоидальными величинами. Покажем, что синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором.

Пусть вектор Im вращается с постоянной угловой частотой ω против часовой стрелки. Начальное положение вектора Im задано углом ψ (рис. 4.7). Проекция вектора Im на ось y определяется выражением Imsin(ωt+ψ), которое соответствует мгновенному значению переменного тока. Таким образом, временная диаграмма переменного тока является разверткой по времени вертикальной проекции вектора Im, вращающегося со скоростью ω.

Изображение синусоидальных величин с помощью векторов дает возможность наглядно показать начальные фазы этих величин и сдвиг фаз между ними.

Рис. 4.7. Изображение синусоидального тока вращающимися векторами

На векторных диаграммах длины векторов соответствуют действующим значениям тока, напряжения и ЭДС, так как они пропорциональны амплитудам этих величин.

Рис. 4.8. Векторная диаграмма синусоидальных ЭДС е1 и е2

На рис. 4.8 показаны векторы Е1 и Е2 с начальными фазами ψ1 и ψ2 и сдвигом фаз ϕ. Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени,

называют векторной диаграммой. Необходимо иметь в виду, что на векторной диаграмме векторы изображают токи (напряжения) одинаковой частоты.

Очевидно, что эта операция громоздка и не дает возможности получить требуемую точность. Покажем, что сложение двух синусоид можно произвести с помощью векторной диаграммы. На рис. 4.9 (слева) вектор Im представляет собой сумму векторов I1m и I2m. Сумма вертикальных проекций i10+i20 равна проекции i0 для момента времени t=0. Это справедливо и для любого другого момента времени. Но вертикальная проекция вращающегося вектора является мгновенным значением синусоидальной величины. Следовательно, вектор Im и является изображением суммы двух синусоидальных токов i1 и i2. Из векторной диаграммы рис. 4.9 легко определить амплитуду Im и фазу y тока i. Длина вектора Im и его фаза y могут быть найдены аналитически по известным тригонометрическим формулам:

Использование этих формул связано с громоздкими вычислениями. Таким образом, наиболее простым и удобным методом является метод векторного сложения.

Вычитание одной синусоидальной величины из другой также сводится к операции сложения, так как i1—i2=i1+ (—i2). Следовательно, на векторной диаграмме к вектору I1 следует прибавить вектор —I2.

Карточка № 4.5 (228).

Сложение и вычитание синусоидальных величин

§ 4.6. Поверхностный эффект. Активное сопротивление

Рис. 4.10. К объяснению понятия поверхностного

эффекта

При изучении цепей переменного тока приходится сталкиваться с понятием активного и реактивного сопротивлений. Реактивными называют сопротивления, которые в среднем не потребляют энергии, а активными — сопротивления, непрерывно потребляющие энергию. Можно показать, что сопротивление проводника переменному току (активное сопротивление) больше, чем сопротивление того же проводника постоянному току. На рис. 4.10 изображен проводник с током, идущим в данный момент от нас. Пунктирными линиями показано магнитное поле, сцепленное с проводником. При изменении тока магнитное поле также изменяется, а силовые линии пересекают проводник. При этом области сечения проводника, расположенные ближе к поверхности, пересекаются меньшим числом линий в единицу времени, чем области, расположенные ближе к центру. В результате ЭДС самоиндукции оказывается больше в областях, расположенных ближе к центру. Это приводит к уменьшению плотности тока в указанных областях. Следовательно, ток, проходящий через все сечение, уменьшается, что эквивалентно увеличению сопротивления проводника. На больших частотах неравномерность прохождения тока

проявляется очень резко и плотность тока в центральных областях сечения проводника практически равна нулю, т. е. ток проходит только в поверхностном слое. Это явление называют

где R0, R — сопротивления проводника постоянному и переменному току.

Коэффициент ξ зависит от частоты переменного тока, диаметра проводника и магнитной проницаемости материала, из которого изготовлен проводник.

Карточка № 4.6 (309). Поверхностный эффект. Активное сопротивление.