Карточка № 3.15 (318).

Потокосцепление и индуктивность катушки

§ 3.16. ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного поля

Рассмотрим процесс, происходящий в цепи (рис. 3.27) при замыкании ключа К. До замыкания ключа ток в цепи I=0. После замыкания ключа ток в цепи устанавливается не мгновенно и лишь через определенное время достигает значения I=U/Rк. Следовательно, ток, проходящий через катушку, изменяется, а значит, изменяется поток ФL каждого витка и потокосцепление катушки ΨL Согласно (3.15), в каждом витке наводится ЭДС е=—dФL/dt, а во

всей катушке ЭДС еL=—dФL1/dt—dФL2/dt—…—dФLϖ/dt=—(dФL1/dt+dФL2/dt+…+dФLϖ/dt).

Выражение в скобках представляет собой сумму производных и может быть заменено

dΨL/dt. Но ΨL=Li и для катушки без ферромагнитного сердечника (L=const) окончательно

получим

ЭДС eL называют ЭДС самоиндукции, а рассмотренное явление возникновения ЭДС в катушке вследствие изменения тока в этой катушке — самоиндукцией.

ЭДС самоиндукции, согласно принципу Ленца, препятствует изменению тока в катушке, поэтому ток достигает установившегося значения I=U/Rк постепенно (рис. 3.28). Если замкнуть катушку на резистор, то ток в цепи не исчезает мгновенно, так как ЭДС самоиндукции препятствует его уменьшению. Прохождение тока через Rк сопровождается выделением тепловой энергии, что свидетельствует о накоплении энергии в магнитном поле катушки. Найдем значение этой энергии. Согласно второму закону Кирхгофа для цепи рис. 3.27, U+eL=iRк, откуда

U = iRк - eL = iRк + L dtdi , т.е. падение напряжения источника частично происходит на Rк и частично

уравновешивает ЭДС самоиндукции eL. Умножим последнее уравнение на idt

Uidt=i2Rкdt+Lidi,

где Uidt — энергия, которую отдает источник в цепь за время dt; i2Rкdt — энергия, выделяемая в виде теплоты на резисторе Rк; Lidi — энергия, накапливаемая в магнитном поле катушки за время dt.

Для нахождения всей энергии, которая накопится в магнитном поле катушки при изменении тока от 0 до I=U/Rк, проинтегрируем выражение для Lidi:

Это выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела массой М, движущегося со скоростью v. W=(Mv)2/2.

Пример 3.10. Катушку, индуктивность которой L=0,1Гн и сопротивление Rк=10Ом, подключают к источнику постоянного напряжения U=100В. Определить ЭДС самоиндукции в первый момент подключения катушки к источнику. Какое количество энергии сосредоточено в магнитном поле катушки при установившемся тике?

Р е ш е н и е . Так как ток в катушке в первый момент равен нулю (рис. 3.28), все напряжение источника идет на уравновешивание ЭДС самоиндукции; следовательно, U=—eL, откуда eL=—U=—100В. При установившемся токе I=U/Rк=100/10=10А, WL=LI2/2=0,1×100/2=5Дж.

Карточка № 3.16 (161).

ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного поля

§3.17. ЭДС взаимоиндукции. Вихревые токи

Втом случае, когда переменное магнитное поле, созданное током одной катушки, пересекает витки другой катушки (рис. 3.29), и наоборот, на зажимах последней катушки возникает ЭДС, которую называют ЭДС взаимоиндукции.

Найдем выражение для ЭДС взаимоиндукции, которая индуцируется в катушках ϖ1 и ϖ2.

Рис. 3.29. Магнитосвязанные цепи

Ток i1, проходящий через катушку ϖ2, создает магнитное поле, часть которого сцеплена с витками катушки ϖ2 (рис. 3.29, а), и количественно определяется потокосцеплением

взаимоиндукции: Ψ1,2=ϖ2Ф1,2. Соответственно ток i2 катушки ϖ2 (рис. 3.29, б) создает потокосцепление взаимоиндукции Ψ2,1=ϖ1Ф2,1. Здесь Ф1,2 и Ф2,1 — магнитные потоки взаимоиндукции, пропорциональные токам, их создающим. Следовательно, и потокосцепление взаимоиндукции пропорциональны этим токам:

Коэффициенты пропорциональности М1,2 и М2,1 называют взаимными индуктивностями. В том случае, когда катушки не содержат ферромагнитных сердечников, М1,2=М2,1=М.

Взаимная индуктивность М зависит от числа витков катушек, их размеров и взаимного расположения, а также от магнитных свойств среды.

Единица взаимной индуктивности М — генри (Гн).

При изменении потокосцепления взаимоиндукции первой катушки во второй катушке наводится ЭДС взаимоиндукции:

el,2=-dΨ1,2/dt=-Mdi1/dt. (3.27)

Соответственно изменение потокосцепления взаимоиндукции второй катушки вызывает ЭДС взаимоиндукции в первой катушке:

e2,1=-dΨ2,1/dt=-Mdi2/dt.

Явление взаимоиндукции находит широкое применение в различных электро- и радиотехнических устройствах. В частности, оно используется для трансформации электроэнергии в целях переменного тока.

Рис. 3.30. Образование вихревых токов в магнитопроводе

Однако это явление может проявлять себя и как вредное. Например, в сердечнике катушки (рис. 3.30) или трансформатора за счет явления взаимоиндукции возникает кольцевой ток, который называют вихревым. Протекание вихревых токов в сердечнике вызывает большие тепловые потери. Для уменьшения этих потерь ферромагнитные сердечники набирают из тонких

изолированных друг от друга листов электротехнической стали с повышенным удельным электрическим сопротивлением.

Карточка № 3.17 (235)

ЭДС взаимоиндукции. Вихревые токи

120

185