- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
6. Временные (динамические) ряды
Статистические данные за ряд периодов (месяцев, лет), например, индексы цен, объем производства некоторой продукции и т.д. представляют собой временной (динамический) ряд. Этот ряд содержит как детерминированную (неслучайную) составляющую, которую называют трендом, так и случайную составляющую. Кроме этого, некоторые временные ряды имеют сезонные колебания.
Рассмотрим вначале временные ряды, содержащие детерминированную и случайную составляющие. Их можно задать общим уравнением
,
где f(t) – тренд, – случайная составляющая.
Основными характеристиками статистического временного ряда являются темп роста и темп прироста.
Темп роста – это отношение уровня ряда в момент времени t к его уровню в момент t–1
.
Темп прироста определяется по формуле
.
6.1. Методы выделения тренда
Выделение тренда представляет собой весьма трудную и в то же время очень важную задачу, поскольку ее решение позволяет осуществлять прогнозирование, при этом случайная составляющая временного ряда используется для оценки точности прогноза.
В настоящее время известны два метода выделения тренда. Первый метод заключается в том, что по эмпирическим данным временного ряда подбирается выравнивающая кривая (математическая модель), которая с наибольшей точностью описывает временной ряд. При этом в качестве математических моделей используются различные функции: уравнения прямой и экспоненты, парабола (квадратная, кубическая и более высоких степеней), логистическая кривая, кривая Гомпертца и др. При выбранной математической модели оценки ее параметров на основании эмпирических данных вычисляются по методу наименьших квадратов.
Второй метод выделения тренда заключается в сглаживании ряда по методу скользящей средней. При этом обычно находят среднее значение трех (или пяти) первых членов, далее берутся следующие три члена со смещением на единицу и находится среднее. Таким путем удается уменьшить случайную составляющую.
Сглаживание можно осуществить один или несколько раз (желательно от 1 до 3). В случае сглаживания по прямой используются формулы [37, с. 116]
. (6.1.1)
Первая формула предназначена для сглаживания средних членов ряда, вторая и третья – для сглаживания начального и конечного членов ряда.
Следует отметить, что множество математических моделей, обычно используемых на практике, не гарантирует установления подходящей выравнивающей кривой. Некоторые из них дадут близкие, но недостаточно точные результаты.
Обойти эти трудности (по крайней мере частично) можно путем разработки более гибкой системы выравнивающих кривых.
Для того чтобы иметь представление, какие математические модели требуется разработать, необходимо знать свойства исследуемых временных рядов, которые проявляются в таких характеристиках, как скорость роста, темп роста и темп прироста. Математические модели тоже должны обладать такими же свойствами.
Пусть тренд задается общей формулой
.
Этот тренд в каждой точке t имеет скорость роста, мгновенный темп прироста и мгновенный темп роста.
Скорость роста равна первой производной
.
Мгновенный темп прироста задается формулой [2, c. 291]
.
Скорость роста и мгновенный темп прироста связаны соотношениями
.
Мгновенный темп роста равен
.