3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений

В теории вероятностей и математической статистике известно большое количество непрерывных распределений. Однако, как показала практика, они не могут с достаточной точностью описать все многообразие статистических распределений. Кроме того, их использование затруднено тем, что они не сведены в систему.

Сложившаяся в настоящее время в прикладной статистике ситуация сравнима с той, которая была в химии накануне создания “Периодической системы элементов” Д.И.Менделеева: было известно достаточно много элементов, в некоторой степени изучены их свойства, но еще не было главного – закона, позволявшего предсказывать существование еще не открытых элементов и их свойства.

Следовательно, главная задача теории вероятностей и математической статистики на данном этапе – создание своего рода «Периодической системы распределений», исследование их свойств, разработка общих критериев для установления закона распределения случайной величины по статистическому распределению и разработка общих методов оценивания параметров.

Задача построения универсальных вероятностных моделей для аппроксимации (выравнивания) широкого класса статистических распределений в настоящей работе ставится не впервые.

Еще в 1895г. английский статистик К.Пирсон предложил свое семейство непрерывных распределений, заданное в виде дифференциального уравнения [29, c. 129]

.

Это семейство распределений он получил путем выравнивания дискретного гипергеометрического распределения. Им же был предложен метод моментов (назовем его классическим методом моментов) для нахождения оценок параметров выравнивающих распределений.

Существенным недостатком семейства распределений К.Пирсона является отсутствие обобщенной плотности, представленной в явном виде, что сильно ограничивает возможности его использования на практике. Кроме того, метод моментов не позволяет находить оценки параметров тех распределений, в том числе принадлежащих семейству К. Пирсона, которые не имеют моментов высших порядков (3-го или 4-го).

В 1912 г. английский статистик Р. Фишер предложил другой метод оценивания параметров практически любых распределений – метод наибольшего правдоподобия. Однако для использования этого метода необходимо заранее знать тип выравнивающего распределения, но, к сожалению, отсутствуют критерии для его установления. Кроме того, он требует совместного решения весьма сложных уравнений правдоподобия, число которых равно числу оцениваемых параметров.

Таким образом, задача установления типа выравнивающей кривой распределения и нахождения оценок параметров к настоящему времени до конца не решена. Поэтому разработка системы непрерывных распределений, более широкой, чем семейство кривых К. Пирсона, а также новых методов оценивания параметров имеет большое значение как в теоретических, так и прикладных исследованиях. Другими словами, требуется создание теории обобщенных распределений. Ниже излагаются элементы этой теории.

3.1. Методы построения обобщенных распределений

Для получения универсальных (обобщенных) распределений используются различные методы. Наиболее известным является метод выравнивания дискретных распределений (метод К. Пирсона).

Другой широко известный метод – получение нового распределения как функции случайного аргумента с известным распределением.

В настоящей книге и в других работах автора широко используется метод обобщения. Он позволяет подчас простыми и до­ступными средствами получать новое знание. Но для этого необходимо использовать различные его возможности. В одних случаях для получения более общих зависимостей достаточно воспользоваться одним из предлагаемых ниже приемов или их комбинацией:

– введение новых параметров, объединяющих частные случаи в единое целое;

– использование подходящего замечательного предела;

– замена переменной;

– разложение функции в степенной ряд;

– получение новой более точной математической модели из двух менее точных и т.д.

В других более сложных случаях требуется введение новых понятий. Но здесь не существует готовых рецептов и успех зависит исключительно от изобретательности исследователя. В предыдущей главе автором введено понятие нового события и в итоге построено семейство трехпараметрических непрерывных распределений.

В результате обобщения должна получиться математическая модель, включающая как частные случаи исходные функции. Метод обобщения, несмотря на свою чрезвычайную простоту, позволяет строить универсальные математические модели, включающие как частные случаи наперед заданные зависимости, которые на практике реализуются чаще других.

Что касается обобщенных распределений, то они должны включать как частные случаи подавляющее большинство известных из теории вероятностей и математической статистики распределений, ибо только в этом случае будет достаточно высока вероятность нахождения такой выравнивающей кривой распределения, которая наилучшим образом описывает статистический ряд распределения.

Приведем примеры.

Произведение ряда натуральных чисел называется факториалом целого положительного числаn и обозначается n! (читается “эн-факториал”).

Если построить график зависимости n!=f(n), то получим ряд точек. Для осуществления различных расчетов необходимо иметь непрерывную кривую, проходящую через эти точки.

Непрерывным аналогом и обобщением этой зависимости, включающей при целых n значения n!, является гамма-функция, введенная Л. Эйлером

.

При целых n

Гамма-функция обладает свойством

.

При . Приn = 1 и n = 2 гамма-функция равна единице, поскольку 0!=1; 1!=1.

Рассмотрим другой пример, в котором для получения более общей зависимости используется замечательный предел и вводятся новые параметры.

Пусть требуется найти некоторое обобщенное уравнение, включающее как частные случаи уравнения прямой и экспоненты:

.

Используя замечательный предел

,

можем записать искомое уравнение в общем виде

,

где , u – новые параметры.

При u = 1,  = 1 имеем уравнение прямой, а при u0,  = 1 – уравнение экспоненты.

Полученное четырехпараметрическое уравнение имеет более широкие возможности по выравниванию и прогнозированию различных статистических зависимостей, поскольку оно включает как частные случаи, кроме двух исходных, множество других функций. Более того, на его основе можно получать новые уравнения, например, путем замены независимой переменной х на и т.д.

Рассмотрим еще примеры, в которых на базе двух приближенных равенств получается новое, более точное равенство.

Пусть имеется простейшая степенная функция

,

где параметр  близок к нулю.

Найдем формулы для вычисления логарифма х и числа х по его логарифму.

Представим функцию в виде

и разложим ее в степенной ряд

Оставив в полученном ряде два первых члена, при малых  имеем приближенные равенства

которые получаются из степенного ряда при  > 0 и  < 0.

Найдем среднее геометрическое величины х при α→0 [24]:

.

Таким же образом можно получить среднее геометрическое величины [24]:

.

Последняя формула позволяет весьма точно вычислять логарифмы чисел (например, от 1 до 1000 при  = 0,0001).

Аналогично можно получить приближенную формулу для вычисления функции е^х.

Известно, что

При 0 можем записать

откуда нетрудно получить следующую формулу [24]

.

При х = 1,  = 0,0001 эта формула дает оценку е = 2,71828181, т.е. с точностью до 7 верных цифр после запятой, в то время как по известному замечательному пределу при том же  имеем только три верные цифры после запятой

.