3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения

Рассмотрим три простейших распределения: равномерное, треугольное убывающее и треугольное возрастающее [11, 16].

В первом случае плотность вероятности и функция распределения задаются формулами (см. рис. 3.2.1)

. (3.2.1)

Во втором случае

р(t)= ; F(t)= t=1–(1–t). (3.2.2)

В третьем случае

. (3.2.3)

Здесь следует отметить, что задание плотностей распределений уравнением прямой гарантирует их принадлежность к одной системе непрерывных распределений, а разные углы наклона прямой обеспечивают при интегрировании появление новых значений параметров: в двух последних функциях распределения появились показатели степени, равные двум.

Обобщим попарно функции распределения (3.2.1), (3.2.2) и (3.2.2), (3.2.3) путем введения новых параметров (вместо показателей степени 1 и 2).

В первом случае получим

. (3.2.4)

Во втором случае

. (3.2.5)

Теперь замечаем, что в формуле (3.2.4) имеется параметр u, но его нет в формуле (3.2.5). Введем его в последнюю формулу. В результате получим

, (3.2.6) откуда дифференцированием по t найдем плотность распределения

. (3.2.7)

Последняя плотность может быть еще более расширена за счет введения нового параметра формы. Параметр  в формуле (3.2.7) используется дважды в качестве показателя степени. Пусть это будут два разных параметра. Тогда вместо (3.2.7) можем записать [11]

. (3.2.8)

В итоге получена обобщенная плотность распределения с четырьмя параметрами , , , u или , , k, u (при  = k) . Нормирующий множитель N выражается через эти параметры из условия нормировки

.

Последовательность обобщения простейших распределений показана на рисунке.

Рис. 3.2.1. Последовательность обобщения

простейших непрерывных распределений.

3.3. Классификация обобщенных распределений

В зависимости от значений параметров , u, а также от знака параметров ,  распределения, заданные обобщенной плотностью (3.2.8), можно разделить на типы (см. рис. 3.3.1).

α

III II II' I, I'

IV u

0 1 V IV

Рис. 3.3.1. Классификация распределений

(типы со штрихом – при ,  < 0).

В таблице 3.3.1 приведены значения параметров распределений разных типов.

Таблица 3.3.1

Классификация распределений

Тип кривой	Параметры кривой
	u		k=/
I, I	0<u<	 > 0	0<k<
II, II	u0
III	­–<u<
IV	u	u < 0
V	1<u<	 < 0

Все распределения можно разбить на две большие группы: А и Б.

В группу А входят распределения с параметрами , или =k=1. Они задаются формулами (3.2.6) и (3.2.7).

В группу Б входят распределения, заданные обобщенной плотностью (3.2.8). В этом случае функция распределения, т.е. интеграл

,

как правило, не выражается конечным числом элементарных функций.

Отметим, что из плотности (3.2.8) при   2,  = 1 следует группа симметричных распределений. Симметричны также распределения I типа с параметрами   1, =1/u.

Распределения III′–V′ типов группы Б сводятся к распределениям III–V типов, поэтому в таблице 3.3.3 отдельно они не приведены.

Приведем все существующие типы распределений обеих групп (см. табл. 3.3.2– 3.3.4).

Таблица 3.3.2