- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
Распределениe среднего выборочного зависит от распределения самой случайной величиныХ и от объема выборки n.
Пусть статистическое распределение случайной величины Х задается таблицей 5.2.7, где n = 25.
Требуется найти выравнивающее распределение среднего .
Для его нахождения достаточно по моментам случайной величины Х вычислить моменты случайной величины .
Используя формулы (4.4.47), найдем:
Тогда показатели асимметрии и островершинности будут равны
.
Выравнивающее распределение случайной величины относится к I типу, оценки параметров и нормирующий множитель которого равны:
.
Поскольку полученное распределение весьма близко к нормальному, его можно заменить нормальным
, где ν1 = 3; α = 1/2m2(n) = 11,1607.
Нормирующий множитель
Последнюю плотность обычно записывают в виде
, где .
Задавая далее доверительную вероятность, например, Р = 0,9, найдем доверительные границы для среднего выборочного:
.
5.3. Прогнозирование распределений
Знание характерных особенностей каждой системы непрерывных распределений позволяет осуществлять прогнозирование распределения.
Рассмотрим первую и вторую системы непрерывных распределений.
5.3.1. Первая система непрерывных распределений
Пусть распределение случайной величины Х описывается первой системой непрерывных распределений, причем тип выравнивающей кривой и оценки ее параметров заданы.
Пусть далее известно, что все значения хi (i = 1, 2,…, n) изменятся на постоянную величину С.
Требуется найти распределение случайной величины Х + С.
Рассмотрим первую плотность первой системы непрерывных распределений
.
Обозначим новое значение случайной величины Х через Х*, при этом
Х*=Х+С. (5.3.1)
Тогда распределение новой случайной величины Х* определится по формуле
. (5.3.2)
Поскольку на основании (5.3.1) dх/dх* = 1,
то p(х*) = p(х), (5.3.3)
или с учетом плотности р(х) и (5.3.1)
(5.3.4)
Введя обозначения
, (5.3.5)
последнюю плотность перепишем в виде
. (5.3.6)
Таким образом, смещение случайной величины Х на постоянную С приводит к изменению параметра сдвига α и нормирующего множителя N. Параметры формы k, u не изменяются, т.е. не изменяется форма кривой распределения и, следовательно, характеризующие ее показатели (центральные моменты (2–4)-го порядков и др.).
Поскольку случайные величины Х и Х* связаны функциональной зависимостью, причем с ростом Х растет и Х*, то их функции распределения равны
F(x*) = F(x). (5.3.7)
Аналогично найдем, что при увеличении случайной величины Т на постоянную С, т.е. при Т*=Т+С параметры положения (сдвига) второй и третьей плотностей первой системы непрерывных распределений будут равны
. (5.3.8)
Остальные параметры и нормирующий множитель останутся без изменения. При этом вторая и третья плотности первой системы непрерывных распределений примут вид
, (5.3.9)
. (5.3.10)
Чтобы рассчитать новые значения плотности распределения с учетом смещения С, в случае первой системы непрерывных распределений достаточно сместить на С значения случайной величины без изменения значений плотности распределения.
Если распределение случайной величины Х задано моментами , то ими можно воспользоваться для прогнозирования распределения.
Пусть. Найдем центральные моменты:
.
Таким образом, в случае сдвига случайной величины Х на постоянную С центральные моменты, а также среднее квадратическое отклонение, не изменятся. Изменится только среднее, что повлечет за собой изменение коэффициента вариации.
По известным моментам случайной величины Х*=Х+С легко найти выравнивающее прогнозируемое распределение.
Рассмотрим далее случай, когда последующие значения случайной величины Х образуются из предыдущих путем их умножения на постоянную величину С: .
Тогда ,
.
Показатели асимметрии и островершинности не изменятся:
По известным моментам случайной величины Х легко находятся моменты случайной величины
.
Далее по методу моментов нетрудно найти выравнивающее распределение.
Отметим, что в этом случае коэффициент вариации не изменится, поскольку и среднее, и среднее квадратическое отклонение увеличиваются в С раз. Плотность получается из плотностипри прежних значениях параметровα, k, u, но при этом β*=β/C, N*=N/C.