- •В.В. Нешитой
- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
- •1.1. Случайные события. Испытания. Относительная частота и вероятность
- •1.2. Виды случайных событий
- •1.3. Определения вероятности
- •1.4. Основные формулы комбинаторики
- •1.5. Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)
- •1.6. Теорема умножения вероятностей (независимых событий)
- •1.7. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.8. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •1.8.1. Математическое ожидание
- •1.8.2. Свойства математического ожидания
- •1.8.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8.4. Свойства дисперсии
- •1.8.5. Среднее квадратическое отклонение
- •1.8.6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •1.8.7. Моменты (начальные, центральные) дискретной случайной величины
- •1.10.2. Плотность распределения
- •1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.12. Примеры непрерывных распределений
- •1.12.1. Нормальный закон
- •1.12.2. Показательный закон
- •1.12.3. Закон Вейбулла
- •1.13. Элементы математической статистики
- •1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда
- •1.13.2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения
- •1.13.3. Статистические оценки параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)
- •1.13.4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •1.13.5. Метод наибольшего правдоподобия
- •2. Вероятностная модель текста и ее исследование
- •2.1. Понятие математического ожидания случайной функции, нового события и кривой роста новых событий
- •2.2. Математическое ожидание случайной функции и кривая роста новых событий. Связь с законами распределения вероятностей разных и новых событий
- •2.3. Установление статистической структуры выборки по кривой роста новых событий
- •2.4. Восстановление кривой роста новых событий по статистической структуре выборки
- •2.5. Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •Построение систем кривых роста и непрерывных распределений новых событий
- •3. Обобщенные распределения. Системы непрерывных распределений
- •3.1. Методы построения обобщенных распределений
- •3.2. Построение системы непрерывных распределений методом обобщения
- •3.3. Классификация обобщенных распределений
- •Распределения группы а
- •Распределения группы б
- •Группа симметричных распределений
- •3.4. Распределения функций случайного аргумента
- •3.5. Три основные и три дополнительные системы непрерывных распределений в.Нешитого
- •3.6. Обобщение систем непрерывных распределений
- •3.6.1. Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по первому варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •3.6.2. Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту
- •Обобщение систем непрерывных распределений по второму варианту на базе четырехпараметрической плотности p(t)
- •4. Оценивание параметров обобщенных распределений. Критерии для классификации кривых. Центральная предельная теорема
- •4.1. Метод наименьших квадратов
- •Значение функции распределения f(tc)
- •4.2. Метод наибольшего правдоподобия
- •4.3. Классический метод моментов
- •4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
- •4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
- •4.4. Универсальный метод моментов
- •4.4.1. Расширение трех систем непрерывных распределений
- •4.4.2. Законы распределения суммы независимых случайных величин
- •4.4.3. Центральная предельная теорема для трех систем непрерывных распределений
- •4.4.4. Законы распределения среднего выборочного
- •4.5. Устойчивый метод
- •5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений
- •5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений
- •5.2. Вычисление выравнивающей кривой распределения по статистическим данным
- •5.2.1. Выравнивание по классическому методу моментов
- •5.2.2. Выравнивание по универсальному методу моментов
- •5.2.3. Выравнивание по устойчивому методу
- •Показатели статистического распределения (snr2v08a)
- •Распределение 3-го типа с параметрами
- •5.2.5. Выравнивающее распределение среднего выборочного
- •5.3. Прогнозирование распределений
- •5.3.1. Первая система непрерывных распределений
- •5.3.2. Вторая система непрерывных распределений
- •Распределение населения страны по среднедушевому совокупному доходу, в % к итогу (Расчет по данным обследования 90 тыс. Семейных бюджетов)
- •5.3.3. Показатели стабильности и качества выборки
- •5.4. Ранговые распределения
- •5.4.1. Форма представления ранговых распределений
- •5.4.2 Универсальный закон рассеяния публикаций
- •5.5.3. Универсальный закон старения публикаций
- •5.4.4. Ранговые распределения лексических единиц
- •6. Временные (динамические) ряды
- •6.1. Методы выделения тренда
- •6.2. Построение кривых роста для выравнивания временных рядов
- •6.2.1. Построение кривых роста с заданными свойствами
- •6.2.2. Метод обобщения
- •6.2.3. Кривые роста на базе обобщенных распределений
- •6.3. Оценивание параметров кривых роста
- •6.3.1. Уравнение прямой
- •6.3.2. Экспонента
- •6.3.3. Обобщенная кривая роста
- •6.4. Прогнозирование временных рядов
- •6.4.1. Параметрический метод прогнозирования
- •6.4.2. Непараметрический метод прогнозирования
- •Заключение
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 5 Основные сведения о программах
- •Литература
- •Содержание
- •Математико-статистические
- •Методы анализа
- •В библиотечно-информационной
- •Деятельности
4.3.3. Симметричные распределения Ic–iiIc типов
Рассмотрим симметричные распределения Ic–IIIc типов, заданные плотностью
(4.3.43)
или в дифференциальной форме
.
Запишем последнее уравнение в виде
.
Умножим обе части полученного равенства на tr и проинтегрируем на бесконечном интервале. В результате получим
. (4.3.44)
При r=1 и r=3 из (3.3.44) найдем
, (4.3.45)
. (4.3.46)
Тогда показатель островершинности будет равен
. (4.3.47)
Последняя формула совпадает с формулой (4.3.14). Величина в зависимости от типа распределения принимает значения (приu>–2/3, или ): – для Ic типа;=3 – для IIc типа (нормального закона);>3 – для IIIc типа.
Отсюда следует, что показатели могут служить критериями для различения распределений Ic–IIIc типов.
Выразим параметры симметричных распределений Iс-IIIc типов через их центральные моменты.
В случае нормального закона (тип IIc) оценка параметра α равна
. (4.3.48)
Оценки параметров α, u распределений Ic, IIIc типов равны
, (4.3.49)
, (4.3.50)
при этом остается также справедливой общая формула
, (4.3.51)
полученная ранее для распределений I-III, I, II типов при .
Действительно, поскольку для симметричных распределений показатель , то на основании (4.3.8) имеем:
.
Тогда формула (4.3.51) в этом частном случае примет вид
,
что совпадает с (4.3.50).
Таким образом, показатели L, u могут служить критериями для классификации как симметричных распределений с параметрами , так и других распределений I-III, I, II типов с параметром .
4.3.4. Критерии для классификации распределений по методу моментов
Все распределения, рассмотренные в п.4.3.1 – 4.3.3, могут быть разделены на типы с помощью критериев L, u, введенных автором.
Критерий L выражается через показатели асимметрии 1 и островершинности 2
.
При (в случае симметричных распределений) показатель, т.е. он совпадает с показателем островершинности.
Критерий (он же параметр) u задается формулой
,
где величины А,…,Е или А*,…Е* вычисляются по формулам (4.3.7) или (4.3.8).
На рис. 4.3.1 дана классификация по критериям u, L распределений с параметром , а также симметричных распределений, для которых критерийL задается формулой
.
Рис. 4.3.1. Классификация распределений по критериям u, L.
Эти же распределения можно классифицировать по критериям (рис.4.3.2). В этом случае распределения II типа представлены прямой . Распределения II типа – кривой
. (4.3.52)
Последняя формула является следствием равенства В2–4АС=0, справедливого для кривых II типа.
Рис. 4.3.2. Классификация распределений по критериям β1, β2.
Распределения III и I типов занимают одну и ту же область между распределениями II и II типов, поскольку кривая I типа при β=1 представляет собой соответствующую кривую III типа, но смещенную вдоль оси абсцисс на величину –1/αu>0.
Распределения I типа занимают область между двумя прямыми – и, при этом распределения Ic типа (при) находятся на интервале1,8<β2<3 оси ординат. Выше кривой II типа находится область распределений, для которых дискриминант В2–4АС<0.
Эту область покрывают распределения III–V типов, принадлежащие трем основным системам непрерывных распределений. На рис. 4.3.2 последние расположены ниже прямой β2=6+0,75β1. Распределения IV типа (при ) лежат на прямойβ2=5+β1.
Сделаем некоторые выводы.
Рассмотренный выше классический метод моментов оценивания параметров имеет существенные недостатки. Во-первых, он применим лишь к распределениям, имеющим моменты вплоть до четвертого порядка, при этом параметр . Во-вторых, метод моментов весьма чувствителен к выбросам на концах статистического распределения, т.е. он не относится к устойчивым методам оценивания параметров.
Как показала практика, этот метод хорошо работает в случае выравнивающих распределений I типа, заданных на ограниченном с обеих сторон интервале, особенно если распределение близко к симметричному.
Для того, чтобы полнее использовать возможности обобщенных распределений по выравниванию статистических рядов распределения, необходимо иметь общие методы оценивания параметров для распределений всех типов, в том числе не имеющих моментов выше нулевого порядка (в традиционном их понимании). Методы должны быть общими для трех плотностей (3.2.8), (3.4.3), (3.4.4).
Ниже рассматриваются два таких метода, разработанные автором.