6.3.3. Обобщенная кривая роста
Найдем для примера оценки параметров кривой роста, заданной четырехпараметрической формулой (6.2.3)
Для этого приведем ее к линейному виду
. (6.3.14)
Примем обозначения
,
. (6.3.15)
Рассеяние эмпирических значений случайной величины Y относительно теоретической прямой (6.3.15) будет описываться первой системой непрерывных распределений, в частности, нормальным законом.
Распределение случайной величины y при заданных значениях t можно найти по распределению случайной величины Y:
Теперь можно
воспользоваться формулами (6.3.3) – (6.3.5)
для нахождения оценок параметров α,
β, S2,
заменив величины
соответственно на
.
Несмещенная оценка остаточной дисперсии
случайной величиныYt
в этом случае будет вычисляться по
формуле
,
где величина
рассчитывается
по статистическим значениям уровней
временного
ряда y
при каждом значении t
и заданном значении параметра u.
Параметр y0
должен быть либо известен из опыта, либо
задан. Меняя
значения параметра u
(например, с шагом 0,1 или 0,01), в итоге
найдем тот вариант кривой роста, параметры
которого минимизируют остаточную
дисперсию.
Найдем формулы для вычисления верхней и нижней доверительных границ уровней временного ряда. На основании формулы (6.3.14) имеем
,
откуда
,
где
.
В случае, когда значение величины y0 неизвестно, формулу (6.2.3) целесообразно представить в виде
или
(6.3.16)
где
Считая значение параметра u известным, найдем оценки параметров A, B, C. Для этого выразим зависимость Ynt (т.е. при значении t* = nt) от Yt , где n > 1. На основании (6.3.16) можем записать
Подставляя сюда
значение
которое следует из (6.3.16), получим
(6.3.17)
В этом уравнении два неизвестных параметра: А, С. Их можно найти по методу наименьших квадратов. Найдем оценку параметра С. Вначале имеем
откуда
(6.3.18)
где S – количество значений Ynt , участвующих в расчете. Величину n целесообразно принимать равной 1.5 или 2.
Теперь легко найти оценки параметров А, В уравнения (6.3.16)
(6.3.19)
(6.3.20)
где N – количество всех точек на эмпирической кривой роста.
Оценки параметров А, В, С вычисляются при различных значениях параметра u. В итоге выбирается тот вариант, который обеспечивает наименьшую остаточную дисперсию
(6.3.21)
где Yi*,Yi – соответственно эмпирическое и расчетное значения Y.
При условии, когда
параметр
,
формула (6.2.3) имеет вид (6.2.7)
.
Здесь три неизвестных параметра: y0, α, β. Для нахождения оценок этих параметров найдем зависимость ynt от yt:
(6.3.22)
или
(6.3.23)
где
Определив оценки параметров a, b равенства (6.3.23), что можно сделать по уравнению прямой
находим далее оценки параметров y0 и β:
(6.3.24)
(6.3.25)
Оценка параметра α определится по формуле
(6.3.26)
Оценки параметров α, β в формуле (6.2.7) при известном значении y0 проще найти путем построения графика прямой
при α > 0, либо прямой
при α < 0.