5.4. Ранговые распределения

Статистические данные, полученные в результате наблюдения, представляют собой простой статистический ряд. Чтобы извлечь из этого ряда информацию, его упорядочивают либо по возрастанию значений случайной величины, либо по убыванию. В обоих случаях получим вариационный (ранжированный) ряд.

Статистические распределения, в том числе ранговые, широко используются в научных исследованиях. Анализ этих распределений позволяет ученым совершать открытия. Так, в физике была введена постоянная М.Планка, в химии Д.И.Менделеевым построена периодическая система элементов, в информатике С.Бредфордом сформулирован закон рассеяния публикаций по периодическим изданиям.

При ранжировании статистических данных открываются возможности извлечения новой информации, изучения структуры выборки, вычисления различных показателей, наиболее полно характеризующих исследуемую случайную величину.

Наличие обобщенных распределений для описания статистических вариационных рядов открывает перед исследователем новые перспективы.

Ранговые распределения находят широкое применение в информатике, математической лингвистике, социологии, библиотечном деле и других отраслях знания.

Рассмотрим, например, частотный словарь. В таком словаре разные слова упорядочены по убыванию (точнее, по невозрастанию) частоты их употребления в текстах, на базе которых построен словарь. Порядковый номер слова и есть его ранг.

В качестве другого примера можно привести ранговое распределение журналов по некоторой отрасли знания (например, по химии и химической технологии), упорядоченных по убыванию числа помещенных в них статей по заданному предмету.

Для описания ранжированных рядов необходимо использовать такие теоретические распределения, которые обладают теми же свойствами, что и ранжированные ряды. Спрашивается, откуда взять распределения, пригодные для выравнивания статистических ранговых распределений? Чтобы решить эту проблему, необходимо либо разработать теорию ранговых распределений, либо использовать ранее построенные обобщенные распределения. Среди множества частных случаев этих распределений найдутся такие, которые с достаточной точностью могут описывать статистические ранговые распределения.

5.4.1. Форма представления ранговых распределений

Статистическое ранговое распределение можно представить в виде обычной гистограммы, которую можно аппроксимировать непрерывной убывающей кривой распределения. Для большей наглядности статистического рангового распределения строят график зависимости , гдеp_r – относительная частота слова частотного словаря с рангом r или доля статей по заданному предмету в журнале с рангом r.

Однако принятая форма представления ранговых распределений несет слишком мало информации о статистическом распределении. На таком графике колебания частот мало заметны, поскольку последние изображены в логарифмическом масштабе. Кроме того, такое преобразование кривой распределения не имеет вероятностного смысла.

В связи с вышесказанным целесообразно перейти к другой форме представления ранговых распределений, а именно, rp_r = f(lnr) [17]. По оси ординат будем откладывать произведение ранга слова (журнала) на его относительную частоту (или долю статей), а по оси абсцисс – натуральный логарифм ранга.

График зависимости rp_r = f(lnr) имеет принципиальные преимущества перед традиционной формой представления ранговых распределений. Во-первых, он описывается первой системой непрерывных распределений (плотностью p(x)). В данном случае rp_r = p(x); lnr = x. Во-вторых, на такой кривой видны колебания самих частот (по оси ординат), а не их логарифмов. В-третьих, статистические ранговые распределения однородных случайных величин имеют одновершинную кривую распределения (этим свойством обладает обобщенная плотность p(x) при u<1). Это позволяет устанавливать однородность или неоднородность статистических ранговых распределений, выделять неоднородную часть, а также решать другие задачи [14, 17].