Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Нешитой.doc
Скачиваний:
110
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
4.92 Mб
Скачать

1.11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Для возможно более полного и всестороннего описания случайных величин используют различные показатели. К ним относятся:

– характеристики положения – математическое ожидание, мода, медиана;

– характеристики вариации – дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

– характеристики формы распределения – коэффициенты асимметрии и островершинности, которые выражаются через моменты.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х задается интегралом

.

Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины те же, что и дискретной случайной величины.

Мода – такое значение случайной величины, при котором плотность максимальна.

Медиана (Ме) случайной величины Х определяется соотношением

P(X<Me)=P(X>Me).

Она делит площадь под кривой распределения пополам.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х задается формулой

,

где

Коэффициент вариации

– выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения случайной величины Х к ее математическому ожиданию.

Центральные моменты r-го порядка (r = 2, 3, 4) задаются формулой

.

Заметим, что .

Коэффициент асимметрии (скошенность)

или .

Коэффициент островершинности (эксцесс)

или .

Ниже будут использоваться первые определения величин введенные К.Пирсоном.

1.12. Примеры непрерывных распределений

1.12.1. Нормальный закон

Нормальный закон распределения задается плотностью

Кривая распределения имеет симметричную колоколообразную форму и характеризуется показателями: β1=0; β2=3.

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, на интервал определяется по формуле [3, c.123]

,

где – функция Лапласа. Здесь величинапредставляет собой выраженное в долях «сигма» отклонение случайной величиныХ от центра распределения а.

В зависимости от значения t вероятность попадания случайной величины Х на заданный интервал равна:

При t = 1 Р = 0,6827.

При t = 2 Р = 0,9545.

При t = 3 Р = 0,9973.

Таким образом, вероятность выхода значений случайной величины Х за пределы очень мала и равна 1–0,9973=0,0027. Это значит, чтоиз 1000 значений случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в среднем только три могут выйти за границы трех стандартных отклонений (правило «трех сигма»). Это «правило» используется во многих практических расчетах, например, при статистическом анализе точности технологических процессов.

1.12.2. Показательный закон

Плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

.

Это – один из простейших однопараметрических законов распределения.

1.12.3. Закон Вейбулла

Плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

.

Из закона Вейбулла при следует показательный закон, а при– распределение Релея.

1.13. Элементы математической статистики

Основные задачи математической статистики заключаются в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов [4, с. 187].

1.13.1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Характеристики вариационного ряда

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку, называется статистической совокупностью. Различают генеральную и выборочную совокупности.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральная совокупность – совокупность всех возможных объектов, из которых производится выборка.

Объем выборки – число объектов в выборочной совокупности.

Репрезентативная (представительная) выборка – такая выборка, которая правильно отражает пропорции генеральной совокупности.

Методы отбора:

простой случайной отбор – объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности. Если выбранный объект перед отбором следующего объекта возвращается в генеральную совокупность, то отбор называется повторным. Если не возвращается – бесповторным;

типический отбор – объекты извлекаются из отдельной части генеральной совокупности (например, продукция, изготовленная на одном станке);

механический отбор – выбирают каждый 10-ый, 100-ый и т.д. элемент генеральной совокупности;

серийный отбор – объекты отбирают не по одному, а сериями.

Статистическая совокупность, упорядоченная по возрастанию или убыванию значений признака, называется вариационным рядом, а ее объекты – вариантами.

Вариационный ряд характеризуют показатели:

среднее значение вариант ;

медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант;

размах варьирования R .