5. Выравнивание и прогнозирование статистических распределений

5.1. Выбор системы непрерывных распределений для выравнивания статистических распределений

Каждая из трех систем непрерывных распределений предназначена для описания преимущественно своего класса статистических распределений.

Так, первая система непрерывных распределений в соответствии с ее характерными особенностями наряду с другими должна описывать статистические распределения таких случайных величин, последующие значения которых получаются из предыдущих путем их изменения (сдвига) на всех интервалах на постоянную величину С без изменения частот интервалов. Эти распределения содержат параметры сдвига – , при изменении которых выравнивающая кривая перемещается по горизонтальной оси без изменения формы.

Пусть случайная величина Х за равные интервалы времени растет на одну и ту же величину С. Тогда

Х₁ = Х₀ + С; Х₂ = Х₁ + С = Х₀ + 2С;

Х_τ = Х₀ + Сτ, (5.1.1)

где τ – интервал времени; С – прирост случайной величины Х_τ за отрезок времени τ = 1.

Итак, если некоторая случайная величина растет во времени по линейному закону, либо она задана на всей числовой оси, то ее распределение должно описываться первой системой непрерывных распределений.

Примерами здесь могут служить: статистическое распределение работников некоторой организации по возрасту, распределение образцов бетона и других строительных материалов по прочности, распределение технологических погрешностей контролируемых параметров продукции и др.

Аналогично вторая система непрерывных распределений должна описывать статистические распределения таких неотрицательных случайных величин, последующие значения логарифмов которых на всех интервалах получаются из предыдущих путем их изменения (сдвига) на постоянную величину lnC. При этом последующие значения случайной величины получаются из предыдущих умножением их на всех интервалах на постоянную С без изменения частот интервалов (но ширина интервалов и их границы увеличиваются в С раз!).

Пусть случайная величина Т за равные интервалы времени растет в С раз. Тогда

Это значит, что случайная величина Т_τ растет во времени по показательному закону

(5.1.2)

Логарифм случайной величины Т_τ растет по линейному закону

(5.1.3)

Следовательно, если случайная величина растет во времени по показательному закону, то ее распределение должно описываться второй системой непрерывных распределений.

Характерным примером здесь является статистическое распределение работников по заработной плате, а также распределение наработки до отказа, распределение биений и др.

Наконец, третья система непрерывных распределений должна описывать статистические распределения таких неотрицательных случайных величин, последующие значения двойных логарифмов которых на всех интервалах получаются из предыдущих путем их изменения (сдвига) на постоянную величину lnC. При этом последующие значения случайной величины Y образуются из предыдущих путем их возведения на всех интервалах в одну и ту же степень С без изменения частот интервалов.

Пусть случайная величина Y₀ через интервал времени  = 1 достигает значения Y₁ = Y₀^C . Тогда в последующие интервалы времени будем иметь

Прологарифмируем дважды последнее равенство:

(5.1.4)

Из формулы (5.1.4) следует, что двойной логарифм случайной величины Y_τ растет во времени по линейному закону с угловым коэффициентом lnC, а сама случайная величина Y_τ – по двойному показательному закону

(5.1.5)

Итак, если случайная величина растет во времени по двойному показательному закону, то ее распределение должно описываться третьей системой непрерывных распределений.